1 . 如图，在梯形中，，，，，在线段上．

   

(1)若，用向量，表示，；
(2)若AE与BD交于点F，，，，求的值．

2 . 平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，.
(1)若，点B在第二象限，直线轴，求点B的坐标；
(2)若A，D，E三点共线，椭圆T：与内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.

3 . 三角函数的定义是：在单位圆C：中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，

   

（1）阅读上述文字并求出,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①；
②；
（Ⅱ）①求函数在R上的值域；
②若对，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知的级数展开式为，写出的级数展开式．

4 . 2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为．
(1)求的值；
(2)招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是．
（ⅰ）求应聘者甲答对题的数量的分布列和数学期望；
（ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由．

5 . 在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.

6 . 有7个人分成三排就座，第一排2人，第二排2人，第三排3人，且第一排､第二排只有2个座位，第三排只有3个座位.
(1)如果甲不能坐第一排，共有多少种不同的坐法？
(2)求甲､乙坐在同一排且相邻的概率.

7 . 某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.

8 . 设函数，，．
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若，，使成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）．
参考数据：，．

9 . 为防控某种变异性传染疾病的传播，某药企组织了甲、乙、丙三个研发团队研发防控这种疾病的疫苗，每个团队各有一个研发任务，甲、乙、丙团队研发成功的概率分别为，，，且每个团队研发成功与否互不影响．
(1)在三个团队中恰有两个团队研发成功的前提下，求甲团队研发成功的概率；
(2)记X表示甲、乙、丙三个团队中研发成功的团队数目与未成功的团队数目之差，求X的分布列与数学期望．

10 . 如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．

(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；
(2)求的值．