1 . 求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆.

2 . 在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点．
(1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
(2)若，求x；
(3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标．

3 . 如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由.

4 . 某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.
   
(1)根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
(2)群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率.
(3)在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为.设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为.求及的期望.

5 . 已知点、，椭圆：与双曲线：有相同的焦点．
(1)求双曲线的方程与离心率．
(2)点为双曲线的一部分（且）上的动点，证明：存在过点P的双曲线的切线等分的面积（O为原点）．
(3)设双曲线的切线l与椭圆交于C、D两点，求动弦中点M的轨迹方程．

6 . 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
(2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．

7 . 已知椭圆的方程为，为椭圆短轴顶点，为椭圆的右顶点

(1)若点满足，求点的坐标；
(2)设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；
(3)设点的坐标是，是否存在过中点的直线，使得与椭圆的两个交点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)求的外心的纵坐标的取值范围；
(3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

9 . 已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值．

10 . 已知方程
(1)试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线
(2)为何值时，该抛物线在直线上截得的弦最长？并求出此弦长.