1 . 在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列．

2 . 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．

4 . 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如果是区间上的连续函数，并且，那么．
(1)求；
(2)设函数．
①若恒成立，求实数的取值范围；
②数列满足，利用定积分几何意义，证明：．

5 . 已知函数．
(1)求证：；
(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．

6 . 函数（为实数）.
(1)若，判断直线与的图象是否相切，并说明理由；
(2)若恒成立，求的值.

7 . 若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列.
(1)若为调和数列，证明数列是等差数列；
(2)调和数列中，，，前项和为，求证：.

8 . 已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知圆.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于与圆相切于点与椭圆相交于不同的两点.
①求的取值范围；
②求面积的最大值.

9 . 已知函数且过定点，且点在函数的图象上．
(1)求函数的解析式；
(2)若定义在上的函数恰有一个零点，求实数的取值范围．

10 . “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数被除余，我们可以写作．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数，，…，两两互质，则对任意的整数：，，…，方程组一定有解，并且通解为，其中为任意整数，，，为整数，且满足．
(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第个满足条件的正整数；
(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．