1 . 已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知函数，当时，有极大值，且．
(1)求函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值．

3 . 已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.
(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.

4 . 如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
(1)若某“4阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
(2)若某“9阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若为“阶万物数列”，求证：．

5 . 已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个零点
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．

6 . 已知双曲线的离心率为，过点的直线与交于两点，当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)若分别在的左､右两支，点，探究：是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8 . 如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．

   

(1)若，求三角形的面积；
(2)当最小时，求的长．

9 . 已知椭圆C：的上顶点M与椭圆C的左、右焦点，构成一个等边三角形，过且垂直于，的直线与椭圆C交于D，E两点，且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P，Q是椭圆C上的两个动点，且，过点O作，交直线PQ于H点，求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．

10 . 已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若恒成立，求实数的最大值．