1 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程为，求；
(2)求的单调区间；
(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.

2 . 已知函数．
(1)若在上单调递增，求a的最大值；
(2)若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：，）

3 . 已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知直线是曲线在点处的切线，求证：当时，直线与曲线相交于点，其中.

4 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，设函数，在上的最大值为2，求的取值范围.

5 . 给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件：
①，；
②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）；
③集合，，中各元素之和分别为，，，有；
则称集合为可分集合.
(1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，；
(2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由；
(3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上．

8 . 已知函数，其中为常数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若，求函数在上的极值点的个数.

9 . 已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围．