1 . 已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个零点
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．

2 . 已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若恒成立，求实数的最大值．

3 . 在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)已知是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.

4 . 已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)若，求的单调性.
(3)当时，恒成立，求的取值范围.

5 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数.

6 . 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，
(1)若以，，为边长的三个正三角形的面积分别为，，并满足，，求.
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
(3)若，求面积的取值范围.

7 . 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为．
(1)求的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求；
(3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程．

8 . 篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响.
(1)若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；
(2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：
①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示）
②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？

9 . 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
(1)求出维“立方体”的顶点数；
(2)在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．
①求的分布列与期望；
②求的方差．

10 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率
(1)求曲线在的曲率；
(2)已知函数，求曲率的平方的最大值；
(3)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.