1 . 已知，函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数？请说明理由.

2 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求a的取值范围.

3 . 在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

4 . 已知函数．
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围．

5 . 已知抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)动直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线上异于，的一点，记，的斜率分别为，，为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①点坐标为；②；③直线经过点.

6 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.

7 . 已知函数在处的极值是2，，.
(1)求，的值；
(2)函数有两个零点，求的取值范围.

8 . 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.

9 . 如图，椭圆：的一个顶点为，离心率为.，是过点且互相垂直的两条直线，其中，交圆：于，两点，交椭圆于另一点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程.

10 . 已知函数，其中．
（1）当，时，证明：；
（2）若函数恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个不同的零点、，证明：．