名校
1 . 如图1，
是边长为3的等边三角形，点
、
分别在线段
、
上，
，
，沿
将
折起到
的位置，使得
，如图2．
平面
；
(2)若点
在线段
上，且
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，判断线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．
平面；(2)若点
在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，判断线段
上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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2 . 佛山电视塔位于文华公园内，是佛山地标性建筑．某位高中生想运用所学知识测量验证一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案．
方案一（两次测角法）：如图一，在电视塔附近广场上的
点测得电视塔顶部的仰角为
，正对电视塔前进
米后，到达点，在点测得电视塔顶部的仰角为
，然后计算出电视塔的高度．上，人后退至从镜子中恰能看到电视塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为
米；②正对电视塔，将镜子后移
米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为
米，然后计算出电视塔的高度．
实际操作中，方案一测量数据为
米，
，测得电视塔高度为
；方案二测量数据为
米，
米，
米，测得电视塔高度为
；假设测量者的“眼高
”都用1.6米．
(1)用
表示；
(2)计算
的实际测量值（参考数据：
，结果保留整数）．
方案一（两次测角法）：如图一，在电视塔附近广场上的
点测得电视塔顶部的仰角为，正对电视塔前进米后，到达点，在点测得电视塔顶部的仰角为，然后计算出电视塔的高度．
上，人后退至从镜子中恰能看到电视塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对电视塔，将镜子后移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出电视塔的高度．实际操作中，方案一测量数据为
米，，测得电视塔高度为；方案二测量数据为米，米，米，测得电视塔高度为；假设测量者的“眼高”都用1.6米．(1)用
表示；(2)计算
的实际测量值（参考数据：，结果保留整数）．
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名校
3 . 如图，平面
平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，
，M是CD的中点.
(2)求证：
；
(3)当
时，求PC与平面ABCD所成角的正切值.
平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M是CD的中点.
(2)求证：
；(3)当
时，求PC与平面ABCD所成角的正切值.
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名校
4 . 已知函数
.
(1)求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)若
在
上恒成立，求实数的取值范围.
.(1)求
的最小正周期及单调递增区间；(2)若
在上恒成立，求实数的取值范围.
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名校
5 . 已知复数
，
(
，i是虚数单位).
(1)若
在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数
是实系数一元二次方程
的根，求实数m的值.
，(，i是虚数单位).(1)若
在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；(2)若虚数
是实系数一元二次方程的根，求实数m的值.
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6 . 设
．
(1)当
时，用函数单调性的定义证明：函数
在区间
上是严格增函数．
(2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间
上零点的个数；
②若函数在区间
（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．
．(1)当
时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数．(2)①根据a的不同取值，讨论函数
在区间上零点的个数；②若函数
在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．
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7 . 已知函数
的部分图象如图所示.
的解析式与单调增区间；
(2)若将的图象向右平移
个单位，再向上平移1个单位得到
的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当
时，的最值.
的部分图象如图所示.
的解析式与单调增区间；(2)若将
的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值.
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8 . 已知函数
在区间上的最小值为3.
(1)求常数的值；
(2)当
时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）得到函数
，求函数的单调递减区间、对称中心.
在区间上的最小值为3.(1)求常数
的值；(2)当
时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数，求函数的单调递减区间、对称中心.
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解题方法
9 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于
的内部有一点
，连接
，求
的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将
绕点顺时针旋转
，得到
，连接
，则
的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针方向旋转
角得到向量
.
，把点
绕点
沿顺时针方向旋转
后得到点，求点的坐标；
(2)在中，
，借助研究成果，直接写出的最小值；
(3)已知点
，求的费马点的坐标.
的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.
，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；(2)在
中，，借助研究成果，直接写出的最小值；(3)已知点
，求的费马点的坐标.
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解题方法
10 . 在平行四边形
中，
分别为
的中点，将三角形
沿翻折，使得二面角
为直二面角后，得到四棱锥
.
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)求
与平面所成角的正弦值.
中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥.
平面；(2)求证：平面
平面；(3)求
与平面所成角的正弦值.
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