1 . 如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右顶点分别为
，过左焦点
的直线与椭圆交于点
（点
在点
的上方）．
(1)求证：直线
的斜率乘积为定值；
(2)过点分别作椭圆的切线，设两切线交于点
，证明：
．
中，已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于点（点在点的上方）．(1)求证：直线
的斜率乘积为定值；(2)过点
分别作椭圆的切线，设两切线交于点，证明：．
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2 . 已知函数
，其中
.
(1)若
的图象在
处的切线过点
，求a的值；
(2)证明：
，
，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
(3)当
时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.
，其中.(1)若
的图象在处的切线过点，求a的值；(2)证明：
，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；(3)当
时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.
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2023高三·全国·专题练习
3 . 设函数
在
处取得极值
．
(1)设点
，求证：过点
的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点
可作曲线
的三条切线，求
的取值范围；
(3)设曲线在点
、
处的切线都过点，证明：
．
在处取得极值．(1)设点
，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点
可作曲线的三条切线，求的取值范围；(3)设曲线
在点、处的切线都过点，证明：．
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解题方法
4 . 若函数
图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”．
(1)若
，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；
(2)若
，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；
(3)
，求证：“”是“双切函数”的充要条件是“
”
图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”．(1)若
，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；(2)若
，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；(3)
，求证：“”是“双切函数”的充要条件是“”
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5 . 已知函数
，设曲线在点
处的切线与x轴的交点为
，其中
为正实数．
(1)用
表示
；
(2)求证：对一切正整数n，
的充要条件是
；
(3)若
，记
证明数列
成等比数列，并求数列
的通项公式．
，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．(1)用
表示；(2)求证：对一切正整数n，
的充要条件是；(3)若
，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．
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2022-11-23更新
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1068次组卷
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3卷引用：2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷）
6 . 设x＞0，f(x)=lnx，
(1)求证：直线y=x-1与曲线y=f(x)相切；
(2)判断f(x)与g(x)的大小关系，并加以证明．
(1)求证：直线y=x-1与曲线y=f(x)相切；
(2)判断f(x)与g(x)的大小关系，并加以证明．
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7 . 已知函数
(1)若函数在点
处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当
时．
①设函数
，求证：与
在
上均单调递增；
②设区间
（其中
，证明：存在实数
，使得函数
在区间
上总存在极值点．
(1)若函数
在点处的切线斜率为0，求a的值．(2)当
时．①设函数
，求证：与在上均单调递增；②设区间
（其中，证明：存在实数，使得函数在区间上总存在极值点．
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2022高三·全国·专题练习
8 . 已知函数
，
，在点
处的切线方程记为
，令
．
(1)设函数
的图象与
轴正半轴相交于，在点处的切线为
，证明：曲线上的点都不在直线的上方；
(2)关于的方程
为正实数）有两个实根，
，求证：
．
，，在点处的切线方程记为，令．(1)设函数
的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；(2)关于
的方程为正实数）有两个实根，，求证：．
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解题方法
9 . 已知函数
在点(，
)处的切线方程为
．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于的方程
有两个实数根、，且
，证明：
．
在点(，)处的切线方程为．(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于
的方程有两个实数根、，且，证明：．
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2022-03-29更新
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3207次组卷
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8卷引用：天津市南开中学2019-2020学年高三10月月考数学试题
天津市南开中学2019-2020学年高三10月月考数学试题天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学试题（已下线）第12讲 双变量不等式：剪刀模型-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练（已下线）第29讲 割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练（已下线）天津市南开中学2022届高三下学期二模数学试题（已下线）专题9：双变量问题天津市耀华中学2022届高三下学期统练12数学试题（已下线）重难点突破06 双变量问题（六大题型）
2022高三·全国·专题练习
10 . 已知抛物线
，为直线
上任意一点，过点作抛物线
的两条切线
，
，切点分别为，
．
(1)当的坐标为
时，求过，，三点的圆的方程；
(2)若
，
是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为
；
(3)证明：以
为直径的圆恒过点．
，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．(1)当
的坐标为时，求过，，三点的圆的方程；(2)若
，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；(3)证明：以
为直径的圆恒过点．
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