名校
解题方法
1 . 如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，M，N分别是
，
的中点，点
在线段
上，且
.
；
(2)当
取何值时，直线
与平面
所成角
最小?
(3)是否存在点，使得平面
与平面
所成的二面角的正弦值为
，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.
；(2)当
取何值时，直线与平面所成角最小?(3)是否存在点
，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
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2024-06-09更新
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338次组卷
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2卷引用：江苏省淮安市洪泽中学，金湖中学，清河中学，清浦中学等学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
名校
解题方法
2 . 在正方体
中，
，点P满足
，其中
，
，则下列结论正确的是（ ）
中，，点P满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）A．当 平面 时， 与 所成夹角可能为 |
B．当 时， 的最小值为 |
C．若与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为 |
D．当 时，正方体经过点 、P、C的截面面积的取值范围为 |
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名校
3 . 如图，在斜三棱柱中，
是边长为2的正三角形，
是以AC为斜边的等腰直角三角形且侧面
底面，点
为
中点，点
为
的中点．
平面；
(2)求平面与平面
夹角的正弦值．
(3)过作与
垂直的平面
，交直线于点
，求
的长度．
中，是边长为2的正三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形且侧面底面，点为中点，点为的中点．
平面；(2)求平面
与平面夹角的正弦值．(3)过
作与垂直的平面，交直线于点，求的长度．
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2024-04-01更新
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455次组卷
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3卷引用：江苏省淮阴中学2023-2024学年高二下学期级阶段测试（一）数学试卷
名校
解题方法
4 . 设三个向量
不共面，那么对任意一个空间向量
，存在唯一的有序实数组
，使得：
成立．我们把
叫做基底，把有序实数组叫做基底
下向量的斜坐标．已知三棱锥
．以
为坐标原点，以
为
轴正方向，以
为y轴正方向，以
为
轴正方向，以
同方向上的单位向量
为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（ ）
不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（ ）A． | B． 的重心坐标为 |
C．若 ，则 | D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为 |
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2024-04-01更新
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170次组卷
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3卷引用：江苏省淮阴中学2023-2024学年高二下学期级阶段测试（一）数学试卷
名校
5 . 如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，平面
平面
，点
在
上，且
．
平面
；
(2)若
，求平面与平面
夹角的余弦值．
中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．
平面；(2)若
，求平面与平面夹角的余弦值．
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2024-02-29更新
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3278次组卷
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3卷引用：江苏省淮安市洪泽中学，金湖中学，清河中学，清浦中学等学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
解题方法
6 . 在正四棱锥中，
，
，点满足
，其中
，
，则下列结论正确的有（ ）
中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（ ）A． 的最小值是 |
B．当 时，三棱锥 的体积为定值 |
C．当 时， 与 所成角可能为 |
D．当 时， 与平面 所成角正弦值的最大值为 |
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2023-06-29更新
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263次组卷
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2卷引用：江苏省淮安市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
7 . 在正方体中，，点P满足
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）A．当平面时，与所成夹角可能为 |
B．当时， 的最小值为 |
C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 |
D．当时，正方体经过点 的截面面积的取值范围为 |
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2023-11-06更新
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752次组卷
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10卷引用：江苏省淮安市涟水县第一中学2022-2023学年高三上学期第二次阶段检测数学试题
江苏省淮安市涟水县第一中学2022-2023学年高三上学期第二次阶段检测数学试题江苏省盐城中学2022-2023学年高一创新班下学期3月月考数学试题广东省梅州市大埔县虎山中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题广东省潮州市2023届高三二模数学试题（已下线）模块六 专题7易错题目重组卷（广东卷）山东省枣庄市市中区市中区辅仁高级中学2023年高二上学期10月月考数学试题福建省泉州市惠安惠安一中、安溪一中、养正中学、泉州实验中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）考点16 立体几何中的最值问题 2024届高考数学考点总动员【练】湖南省邵阳市邵东市第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何（压轴题专练，精选20题）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
8 . 如图，在棱长为1的正方体中（ ）
中（ ）
A．与 的夹角为 | B．二面角 的平面角的正切值为 |
C． 与平面 所成角的正切值 | D．点 到平面的距离为 |
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2022-09-06更新
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3327次组卷
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14卷引用：江苏省淮安市淮海中学2022-2023学年高二上学期收心考试数学试题
江苏省淮安市淮海中学2022-2023学年高二上学期收心考试数学试题福建省福州华侨中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题江苏省宿迁市泗洪县洪翔中学2022-2023学年高三上学期第二次学情检测数学试题2023届高三数学摸底考试新高考卷数学试题河北省张家口市张北县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题广东省广州市第十七中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期初检测数学试题（已下线）第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（3）河北市承德市双滦区实验中学2023-2024学年高二上学期开学摸底数学试题浙江省杭州市西湖高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题辽宁省实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学年高一日新班上学期期末考试数学试题（已下线）FHsx1225yl099
9 . 如图，四面体中，
，E为的中点．
平面
；
(2)设
，点F在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正弦值．
中，，E为的中点．
平面；(2)设
，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
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2022-06-07更新
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49596次组卷
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48卷引用：江苏省淮安市盱眙中学2023届高三下学期模拟训练八数学试题
江苏省淮安市盱眙中学2023届高三下学期模拟训练八数学试题2022年高考全国乙卷数学（理）真题（已下线）2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题9-12题（已下线）第6讲 立体几何（已下线）专题40：空间角的向量求法-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（已下线）专题17 立体几何解答题（已下线）专题32 空间向量及其应用-4（已下线）第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (讲）-3（已下线）7.5 空间向量求空间角（精练）（已下线）2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题17-20题（已下线）第52讲 空间向量在立体几何中的运用（已下线）第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）浙江省绍兴市柯桥中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）考向28利用空间向量求空间角（重点）湖北省随州市曾都区第一中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题（已下线）专题08 立体几何解答题常考全归类（精讲精练）-1（已下线）专题6 第3讲 立体几何中的向量方法湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题湖南省长郡中学2023届高三下学期月考(七)数学试题（已下线）大题强化训练（9）（已下线）模块三 专题7 立体几何（已下线）专题14 押全国卷（理科）第18题 立体几何（已下线）第4讲 空间向量的应用 （2）（已下线）专题19 空间几何解答题（理科）-3全国甲乙卷3年真题分类汇编《立体几何》解答题全国甲乙卷5年真题分类汇编《立体几何》解答题（已下线）专题10 空间向量与立体几何-1内蒙古自治区巴彦淖尔市衡越实验中学2022-2023学年高二下学期期中数学（理）试题1.4空间向量的应用（已下线）模块一 情境7 以立体几何为背景（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）江苏省扬州市仪征中学2022-2023学年高三下学期3月学情测试数学试题福建省厦门第一中学2023届高三二模数学试题（已下线）第三章 空间向量与立体几何（综合提升检测卷）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）四川省资阳市乐至县乐至中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第三课】安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段考试数学试题河南省信阳市固始县高级中学第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题湖南省邵阳市新邵县第三中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）模块六 立体几何 大招16 叉乘法快速求法向量（已下线）第5讲：立体几何中的动态问题【练】（已下线）专题05 空间向量与立体几何（分层练）（四大题型+21道精选真题）（已下线）第4讲：立体几何中的最值问题【练】（清北二轮）（已下线）专题06 立体几何 第一讲 立体几何中的证明问题（解密讲义）（已下线）专题06 立体几何 第一讲 立体几何中的证明问题（分层练）（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-1（已下线）【一题多变】空间最值 向量求解专题07立体几何与空间向量
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解题方法
10 . 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱
的中点，Q为正方形
内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )A．若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段 |
B．存在Q点，使得 平面 |
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥 的体积最大 |
D．若 ，那么Q点的轨迹长度为 |
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2022-03-23更新
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4914次组卷
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10卷引用：江苏省淮安市六校联盟2022-2023学年高二下学期5月学情调查数学试题
江苏省淮安市六校联盟2022-2023学年高二下学期5月学情调查数学试题八省八校（T8联考）2022届高三下学期第二次联考数学试题江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题山东省济宁市汶上县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题湖南省长郡中学2023届高三下学期月考(七)数学试题浙江省温州市苍南县金乡卫城中学2022-2023学年高二下学期3月第一次月考数学试题福建省漳州市第三中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题广东省广州市第六中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题河北省石家庄市正中实验中学2024届高三上学期月考（四）数学试题（已下线）空间向量与立体几何
