20-等腰三角形
一、单选题
单选题
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适中(0.65)
名校
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（ ）
| A．10 | B．12 | C． | D． |
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2022-08-22更新
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2233次组卷
|
6卷引用：2022-2023学年北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元测试卷
2022-2023学年北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元测试卷（已下线）专题18.22 用勾股定理解直角三角形（知识点分类专题）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题17.22 用勾股定理解直角三角形（知识点分类专题）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）江苏省泰州市姜堰区第四中学2023-2024学年八年级上学期数学独立作业10.1720-等腰三角形（已下线）第1章 三角形的证明（单元测试·综合卷）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
单选题
|
困难(0.15)
如图，
中
，将沿
折叠，使得点B落在边
上的点F处，若
，且
为等腰三角形，则
的度数为（）
中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（）A． 或 | B．或 | C．或 | D．或 |
【知识点】 根据等边对等角求角度解读 折叠问题解读
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单选题
|
较难(0.4)
问题背景：已知，在中，
，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①
，②
，③
，④
，你认为其中正确的结果有（ ）
中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①
，②，③，④，你认为其中正确的结果有（ ）| A．4个 | B．3个 | C．2个 | D．1个 |
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2022·山东泰安·模拟预测
单选题
|
较难(0.4)
如图，
，点M、N分别在边
上，且
，点P、Q分别在边
上，则
的最小值是（ ）
，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2022-06-18更新
|
1172次组卷
|
8卷引用：2022年山东省泰安市中考数学模拟
（已下线）2022年山东省泰安市中考数学模拟（已下线）3.1 勾股定理（培优分阶练）-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（苏科版）（已下线）特色题型专练05 最值问题-三角形-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）（已下线）查补培优冲刺02 几何最值类综合压轴-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）（已下线）第05练 勾股定理压轴题型-2022年【暑假分层作业】八年级数学（人教版）（已下线）专题11 平行线与三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第1期）（已下线）综合复习与测试（3）（第一二章）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）20-等腰三角形
单选题
|
较难(0.4)
解题方法
如图，在中，
，若D是
边上的动点，则
的最小值是（ ）
中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
| A．6 | B．8 | C．10 | D．12 |
【知识点】 含30度角的直角三角形解读 等边三角形的判定和性质
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2023-02-27更新
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2582次组卷
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21卷引用：四川省乐山市市中区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
四川省乐山市市中区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）2023年四川省绵阳市游仙区九年级学情监测数学试题（仙游二诊）变式题11-15题2023年安徽省合肥市第三十八中学教育集团中考三模数学试题（已下线）专题15 图形的对称与平移（真题4个考点模拟9个考点）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用）（已下线）专题08 几何最值问题（针对第10题）（真题2题模拟60题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用）福建省三明市将乐一中2022-2023学年九年级下学期期中数学试题（已下线）期末复习（压轴45题20个考点）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）（已下线）重难点03 几何最值问题（5大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（广东专用）（已下线）专题13.23 课程学习（最短路径问题）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）专题13.18 等边三角形（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）专题13.24 课程学习（最短路径问题）（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）第13章 轴对称（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）专题2.18 等边三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）（已下线）专题2.24 轴对称的最值问题（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）（已下线）第2章 轴对称图形（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）（已下线）专题2.23 轴对称的最值问题（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）（已下线）专题2.13 特殊三角形章末拔尖卷-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）20-等腰三角形（已下线）重难点06几何最值问题（5大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（已下线）专题02求最值中的几何模型（3大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）（已下线）易错模型03 最值模型（八大易错分析+变式训练+易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（全国通用）
单选题
|
较难(0.4)
如图，在等边中，
分别是
边上的点，且
，
与
相交于点
，
垂直于．则
（ ）
中，分别是边上的点，且，与相交于点，垂直于．则（ ）A． | B． | C． | D． |
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单选题
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较难(0.4)
名校
如图，、
在
的同侧，点
为线段中点，
，
，
，若
，则
的最大值为（ ）
、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）| A．18 | B．16 | C．14 | D．12 |
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单选题
|
较难(0.4)
名校
如图，等腰中，
，当
的值最小时，
的面积（ ）
中，，当的值最小时，的面积（ ） A． | B． | C． | D． |
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2023-11-16更新
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351次组卷
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3卷引用：湖北省黄冈市武穴市黄冈师范学院附属武穴实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
单选题
|
困难(0.15)
如图，等腰直角与等腰直角
，
，
，
，连接、．若
，为中点，
交于点
，则
的长为（ ）
与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（ ）| A．56 | B． | C． | D． |
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单选题
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较难(0.4)
名校
如图，在中，
，
，
，以为边在上方作一个等边
，将四边形
折叠，使
点与
点重合，折痕为
，则点
到直线的距离为（ ）
中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023-07-03更新
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1098次组卷
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5卷引用：重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题
重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题重庆市第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（已下线）专题03 勾股定理与几何折叠问题专项训练-【好题汇编】2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（广东专用）20-等腰三角形（已下线）第17章 勾股定理（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
二、填空题
填空题
|
较难(0.4)
名校
已知中，
，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则
________ ．
中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则【知识点】 根据等边对等角求角度解读
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2022-08-08更新
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1276次组卷
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13卷引用：陕西省西安市西安交通大学附属中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题
陕西省西安市西安交通大学附属中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题（已下线）专题2.4 特殊三角形（一）（轴对称、等腰三角形与逆命题（定理）十大题型）重难点题型-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）（已下线）第2章 轴对称图形 章末检测卷-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（苏科版）陕西省西安市第八十三中学2022-2023学年七年级下学期第二次月考数学试题江西省抚州市第一中学2022-2023学年八年级下学期月考数学试题（已下线）专题13.3 等腰三角形+专题13.4 最短路径问题-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）（已下线）第十三章 轴对称 章末检测卷-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）（已下线）第五章 生活中的轴对称 章末检测卷-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）（已下线）专题5.1 生活中的轴对称 重难点题型12个-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）（已下线）专题05 等腰三角形的多解问题之六大题型-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）20-等腰三角形（已下线）第一章第05讲 易错易混淆集训：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)（原卷版）（已下线）第五章第04讲 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题之四大易错(4类热点题型讲练)-【帮课堂】2023-2024学年七年级数学下册同步学与练（北师大版）
填空题
|
较难(0.4)
名校
如图，点
是等边内一点，
，
．以
为一边作等边三角形
，连接．探究：当
______ 时，
是等腰三角形？
是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当是等腰三角形？
【知识点】 全等的性质和SAS综合（SAS）解读 等边三角形的性质解读
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2022-09-25更新
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692次组卷
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10卷引用：江西省南昌市育华学校2018-2019学年八年级上学期期中数学试题
江西省南昌市育华学校2018-2019学年八年级上学期期中数学试题江西省省赣州市大余县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题河南省郑州市外国语中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题辽宁省丹东市第十九中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试题辽宁省丹东市振兴区第十九中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试题浙江省杭州市杭州外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题浙教版八年级上册第二章特殊三角形单元测试数学试题（已下线）专题13.18 等边三角形（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）专题2.18 等边三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）20-等腰三角形
2022九年级下·浙江·专题练习
填空题
|
较难(0.4)
名校
如图，平面直角坐标系中，已知直线
上一点
，连接
，以为边做等腰直角三角形
，
，过点作线段
轴，直线与直线交于点
，且
，直线与直线交于点
，则点的坐标是_____ ．
上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是
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2023-02-04更新
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1016次组卷
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9卷引用：考点09 一次函数的应用-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)
（已下线）考点09 一次函数的应用-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)四川省成都市金牛区成都七中八一学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）2023年四川省眉山市中考数学真题变式题13-18题重庆市南岸区第十一中学校2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题（已下线）第12练 一次函数与几何综合-2022年【暑假分层作业】八年级数学（人教版）（已下线）19.3 课题学习 方案选择-2022-2023学年八年级数学下册《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）（已下线）期末真题精选（常考60题32个考点分类专练）20-等腰三角形（已下线）专题19.24 一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
填空题
|
较难(0.4)
真题
名校
如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角
、
，连结
、、
，过点的直线
分别交线段
、于点、，以下说法：①当
时，
；②
；③若
，
，
，则
；④当直线
时，点为线段的中点．正确的有_________ ．(填序号)
的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有
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2023-06-16更新
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1252次组卷
|
10卷引用：2023年四川省遂宁市中考数学真题
2023年四川省遂宁市中考数学真题（已下线）专题13 三角形基础、全等三角形、等腰三角形和直角三角形-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（四川专用）（已下线）2023年四川省遂宁市中考数学真题变式题11-15题（已下线）专题23 几何综合-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（四川专用）四川省达州市达川第四中学2023--2024学年下学期3月月考数学试题（已下线）专题14 几何综合题（37题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）20-等腰三角形（已下线）专题1.7 直角三角形（直通中考）（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）第3讲 全等三角形（已下线）专题17.14 勾股定理（全章直通中考）（综合练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
填空题
|
较难(0.4)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点
点Q在x轴的负半轴上
分别以
为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰
、等腰
，连接交y轴于P点，则
的值为_______ ．
点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为
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填空题
|
困难(0.15)
如图，已知为等边三角形，边长为6，点分别是边
上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点
从点
开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的2倍，以为边向右侧作等边三角形
．点
是边的中点，连接
，则的最小值为______ ．
为等边三角形，边长为6，点分别是边上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的2倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为
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三、解答题
四边形
是由等边
和顶角为
的等腰
排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：
；
（2）当点在边
的延长线上时（如图2），请你写出线段
，
和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若
，
，请直接写出的长为 ．
是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当
、都在线段上时（如图1），请证明：；（2）当点
在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若
，，请直接写出的长为 ．
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2021-10-15更新
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1678次组卷
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8卷引用：湖北省武汉市新洲区部分学校2021-2022学年九年级上学期10月联考数学试卷
湖北省武汉市新洲区部分学校2021-2022学年九年级上学期10月联考数学试卷 （已下线）重难点01 平行四边形（6种模型与解题方法）-【满分全攻略】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（苏科版）（已下线）专题03平行四边形（考题猜想，5种模型与解题方法）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版）（已下线）专题12.26 三角形全等几何模型-旋转模型（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题1.53 全等三角形几何模型-旋转模型（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题3.2 旋转中的重要模型 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）（已下线）12.1+全等三角形(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列3【考点闯关】（人教版）20-等腰三角形
解答题-证明题
|
较难(0.4)
名校
如图1，直线与x轴，y轴分别交于点
和
．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点
是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为
，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角
，
与x轴交于点C．
①求证：
；
②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得
为等腰三角形？若存在，请直接写出
的值；若不存在，请说明理由．
与x轴，y轴分别交于点和．(1)求直线
的函数表达式；(2)点
是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C．①求证：
；②在点
的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
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2023-03-24更新
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1500次组卷
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11卷引用：浙江省湖州市德清县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
浙江省湖州市德清县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）数学（湖南长沙A卷）-学易金卷：2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷山东省德州市平原县2022-2023学年七年级下学期期末数学试题山东省德州市平原县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题四川省成都市锦江区成都市石室天府中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题浙江省温州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题浙江省杭州市拱墅区杭州育才中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题（已下线）专题19.39 一次函数题型分类专题（存在性问题）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题19.40 一次函数题型分类专题（存在性问题）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）20-等腰三角形（已下线）19.2.2一次函数
解答题-证明题
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较难(0.4)
已知
ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．
(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=
，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=
，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
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2022-04-16更新
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714次组卷
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4卷引用：湖北省武汉市东湖新技术开发区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
湖北省武汉市东湖新技术开发区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题2022年山东省泰安市泰山区泰安第六中学中考二模考试数学试题（已下线）2022年山东青岛市高新区九年级一模数学试题变式题21-2420-等腰三角形
解答题-问答题
|
较难(0.4)
以的边
，
为直角边向外作等腰直角三角形
和等腰直角三角形
，
，
，
，是
中点，连接
，
．
(1)如图
，在中，当
时，求与的数量关系和位置关系．
(2)如图
，当为一般三角形时，（）中的结论是否成立？请说明理由．
(3)如图
，若以的边，为直角边向内作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其他条件不变，（）中的结论是否成立？请说明理由．
的边，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，是中点，连接，．(1)如图
，在中，当时，求与的数量关系和位置关系．(2)如图
，当为一般三角形时，（）中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图
，若以的边，为直角边向内作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其他条件不变，（）中的结论是否成立？请说明理由．
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解答题-证明题
|
困难(0.15)
名校
解题方法
背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当
时，则
取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求
的度数，为了解决本题，我们可以将
绕顶点A旋转到
处，此时
这样就可以利用旋转变换，将三条线段
、
、转化到一个三角形中，从而求出
_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形
，连接
，求证：过的费马点．
(3)如图4，在
中，，
，
，点P为的费马点，连接
、
、
，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接
、、
，且边长
；求
的最小值．
所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．(1)如图2，等边
内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，
三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在
中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形
中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
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2022-01-24更新
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1782次组卷
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5卷引用：江苏省苏州工业园区星湾学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
江苏省苏州工业园区星湾学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（已下线）期中难点特训（一）勾股定理与等腰（边）结合的压轴题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）（已下线）专题18 旋转模型之费马点型-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）（已下线）专题1.2 三角形中四类重要的最值模型 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）20-等腰三角形
解答题-问答题
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较难(0.4)
【方法探究】如下图，在
中，
平分
，
，探究，，
之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在上截取
，使得
，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长到点，使得
，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题
(1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】
(2)如下图，在中，是上一点，
，
于，探究
，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】
(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边
，点是的中点，连接
并延长，交的延长线于点．若
，求证：
；
中，平分，，探究，，之间的数量关系；嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在
上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题方法2：如下图，延长
到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题(1)根据探究，直接写出
，，之间的数量关系；【迁移应用】
(2)如下图，在
中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．【拓展延伸】
(3)如下图，
为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：；
【知识点】 全等三角形综合问题 等腰三角形的性质和判定 等边三角形的判定和性质
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解答题-证明题
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困难(0.15)
问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好
，
，
，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．
问题发现，某小组将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角设为
，连接、，如图1所示．
如图2，小李同学发现，当点落在边上时，
；
如图3，小王同学发现，当每改变一个度数时，的长也随之改变．
……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，设转角设为，连接、．
（1）如图2，当点落在边上时，求证：
；
（2）如图3，当
时，若
，求的长．
（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为
，尝试画图，并提出问题请你解答．
如图4，中，，
，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角
，连接、，求
的度数．
，，，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．问题发现，某小组将线段
绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角设为，连接、，如图1所示．如图2，小李同学发现，当点
落在边上时，；如图3，小王同学发现，当
每改变一个度数时，的长也随之改变．……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在
中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，设转角设为，连接、．（1）如图2，当点
落在边上时，求证：；（2）如图3，当
时，若，求的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为
，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4，
中，，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角，连接、，求的度数．
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