25-平行四边形与多边形
一、单选题
单选题
|
较难(0.4)
，点
分别是
上的中点，
，则
的值是（
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2023-07-14更新
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316次组卷
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4卷引用：安徽省芜湖市弋江区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
安徽省芜湖市弋江区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题25-平行四边形与多边形（已下线）第06讲 专题1 构造三角形中位线的常用方法-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（人教版）（已下线）专题6.13 平行四边形（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
单选题
|
较难(0.4)
如图，点
是边长为2的正六边形
内的一点（不包括边界），且
，
是
上的一点，
是
的中点，则
的最小值为（ ）
是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为（ ）
A． | B． | C．3 | D．2 |
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2023-03-31更新
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474次组卷
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7卷引用：2023年河北省石家庄市长安区初中毕业生基础知识质量检测数学试卷
2023年河北省石家庄市长安区初中毕业生基础知识质量检测数学试卷 2023年安徽省六安市十校联盟中考模拟数学试卷（已下线）专题08 几何最值问题（针对第10题）（真题2题模拟60题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用）（已下线）专题21 圆的有关位置关系（真题3个考点模拟8个考点）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用）25-平行四边形与多边形（已下线）第06讲 正多边形和圆（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）（已下线）专题6.9 多边形的内角和与外角和（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
单选题
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较难(0.4)
名校
如图，在
中，
、
的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，
，BC＝10，
，则BE的长为（ ）
中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A． | B．8 | C． | D．10 |
【知识点】 利用平行四边形的判定与性质求解解读
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2021-03-10更新
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1852次组卷
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16卷引用：2021年山东省临沂市中考数学模拟试题（一）
2021年山东省临沂市中考数学模拟试题（一） 广东省高州市第九中学联考集团2020-2021学年九年级下学期第一次月考数学试题四川省成都市青羊区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题河南省巩义市2020-2021学年八年级下学期期末考试数学试题福建省漳州市厦门大学附属实验中学2021-2022学年八年级下学期期中教学质量检测数学试浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题河北省石家庄市第八十一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）专题18.8 平行四边形的判定（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题4.14 平行四边形的判定定理（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题19.11 平行四边形的判定（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题 4.35 平行四边形（全章复习与巩固)（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题6.8 平行四边形的判定（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题6.32 平行四边形（全章复习与巩固）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）25-平行四边形与多边形（已下线）18.1.2平行四边形的判定（已下线）专题6.13 平行四边形（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
单选题
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较难(0.4)
名校
如图，中，
，
，点
为
中点，点
为
边上一点，若
，则
的长为（ ）
中，，，点为中点，点为边上一点，若，则的长为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023-09-02更新
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276次组卷
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3卷引用：四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
2023八年级下·浙江·专题练习
单选题
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较难(0.4)
如图，将纸片折叠(折痕为
)，使点A落在
上，记作①；展平后再将折叠(折痕为
)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使
落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若
，则图④中线段
的长度为（ ）
纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（ ） A． | B． | C． | D． |
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单选题
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困难(0.15)
如图，
是锐角三角形，是的中点，分别以，
为边向外侧作等腰三角形
和等腰三角形
．点
，分别是底边
，
的中点，连接
，，若
（是锐角），则
的度数是（ ）
是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ） A． | B． | C． | D． |
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单选题
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较难(0.4)
如图，在平行四边形
中，点E、F分别是边、的中点，连接
、
，点G、H分别是、的中点，连接，若，
，
，则的长度为（ ）
中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为（ ）
| A． | B． | C． | D．2 |
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2023-09-27更新
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288次组卷
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6卷引用：湖北省武汉市蔡甸区2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
湖北省武汉市蔡甸区2023-2024学年九年级上学期月考数学试题湖北省武汉市江夏区部分学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题河南省南阳市桐柏县育英学校2023-2024学年九年级上学期11月月考数学试题湖北省武汉市部分学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）专题10三角形的中位线（四大题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版，湖北专用）25-平行四边形与多边形
单选题
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较难(0.4)
名校
如图，分别在四边形的各边上取中点，，
，
，连接
，在上取一点，连接
，过作
，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形
和
，延长
，
相交于点
，得到四边形
．下列说法中正确的是（ ）
①
②
③
④四边形是平行四边形
的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（ ）①
②
③
④四边形
是平行四边形
| A．①②③ | B．①③④ | C．①②④ | D．②③④ |
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2023-06-26更新
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324次组卷
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4卷引用：北京市中关村中学2022—2023学年八年级下学期期中数学试题
北京市中关村中学2022—2023学年八年级下学期期中数学试题（已下线）专题23.2 中心对称【八大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）25-平行四边形与多边形（已下线）压轴真题必刷03 图形的平移与旋转（压轴35题9种题型训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）
单选题
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较难(0.4)
真题
名校
如图，定直线MN
PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24
，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）
PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）A．24 | B．24 | C．12 | D．12 |
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2022-06-28更新
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1107次组卷
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7卷引用：2022年湖北省鄂州市中考数学真题
2022年湖北省鄂州市中考数学真题（已下线）2022年湖北省鄂州市中考数学真题变式题6-10题广东省深圳市深圳实验学校初中部2022-2023学年九年级上学期月考数学试题（已下线）专题13 相似三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（已下线）第三节 图形的平移02小题测（已下线）专题30图形的对称与翻折（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】25-平行四边形与多边形
单选题
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较难(0.4)
如图，平面直角坐标系中
是原点，▱
的顶点
的坐标分别是
，点
把线段
三等分，延长
分别交
于点
，连结
，则下列结论：①是
的中点；②
与
相似；③四边形
的面积是
；④
，其中正确的结论个数是（ ）
是原点，▱的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连结，则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④，其中正确的结论个数是（ ）A． 个 | B． 个 | C．个 | D．个 |
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2022-12-09更新
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167次组卷
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2卷引用：2022年四川省宜宾市叙州区九年级上学期期末复习数学试题
二、填空题
填空题
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较难(0.4)
如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝5，AE＝ED＝6，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝7，EM＝8，则五边形ABCDE的面积为_____
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2022-10-18更新
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237次组卷
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3卷引用：湖北省鄂州市华容区庙岭中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题
填空题
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较难(0.4)
如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于点O，且分别交直线BC于点E，F，若AB＝5，BC＝3，则OE2＋OF2＝______________ ．
【知识点】 用勾股定理解三角形解读 利用平行四边形的性质求解解读
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2022-09-22更新
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560次组卷
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8卷引用：河南省南阳市桐柏县思源实验学校2021-2022学年八年级下学期第二册月考数学试题
河南省南阳市桐柏县思源实验学校2021-2022学年八年级下学期第二册月考数学试题（已下线）专题9.11 平行四边形（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）（已下线）专题18.4 平行四边形的性质（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题 18.60 平行四边形（全章复习与巩固）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题4.7 平行四边形及其性质（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题19.7 平行四边形的性质（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题6.4 平行四边形的性质（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）25-平行四边形与多边形
填空题
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较难(0.4)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6
，5BE=AE．则AF长度为_____ ．
，5BE=AE．则AF长度为
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2022-09-09更新
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684次组卷
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9卷引用：浙江省宁波市海曙区兴宁中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
浙江省宁波市海曙区兴宁中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题9.37 平行四边形折叠问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）（已下线）专题18.17 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题4.23 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题19.20 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题6.20 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）浙教版八年级下册第四章 平行四边形单元测试数学试题25-平行四边形与多边形（已下线）专题6.19 平行四边形（题型分类专题）（分层练习）（拨尖练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
填空题
|
较难(0.4)
如图，
，
，点
为平面内一动点，且
，点为线段
中点，则线段
的取值范围为______ ．
，，点为平面内一动点，且，点为线段中点，则线段的取值范围为
【知识点】 三角形中位线的实际应用解读 斜边的中线等于斜边的一半解读
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2021-05-28更新
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4160次组卷
|
5卷引用：2021年河南省邓州市中招第二次模拟考试数学试题
2021年河南省邓州市中招第二次模拟考试数学试题（已下线）瓜豆原理【模型专题】（已下线）专题9.27 三角形的中位线（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）（已下线）专题 4.35 平行四边形（全章复习与巩固)（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）25-平行四边形与多边形
填空题
|
较难(0.4)
名校
如图，在中，∠ACB＝90°，DE
BC，DE＝AC，若AC＝2， AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝
；③AB＝
；④点F是AD中点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG＋GH的最小值为
．正确的是_____ ．（填序号）
中，∠ACB＝90°，DEBC，DE＝AC，若AC＝2， AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝；③AB＝；④点F是AD中点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG＋GH的最小值为．正确的是
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2022-01-19更新
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930次组卷
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5卷引用：福建省泉州市泉州第五中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
福建省泉州市泉州第五中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）数学（人教版A卷）-学易金卷：2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷（安徽专用）2022年福建省厦门外国语学校海沧附属学校中考模拟数学试题四川省德阳市中江县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题25-平行四边形与多边形
填空题
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困难(0.15)
如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG－DG的最大值为________ ．
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2022-07-01更新
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745次组卷
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3卷引用：山东省济南市市中区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
山东省济南市市中区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题（已下线）专题5.2 特殊的平行四边形中的翻折、旋转与动态路径问题 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）25-平行四边形与多边形
三、解答题
解答题-问答题
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较难(0.4)
真题
问题：如图，在中，
，
，
，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：
．
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求
的值．
中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．答案：
．探究：（1）把“问题”中的条件“
”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“
，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
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2021-06-17更新
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1950次组卷
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14卷引用：浙江省绍兴市2021年中考数学真题
浙江省绍兴市2021年中考数学真题（已下线）必刷卷03-2022年中考数学考前信息必刷卷（江苏南京专用）（已下线）专题18 平行四边形的性质与判定-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)（已下线）考点17 平行四边形的性质与判定-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)（已下线）专题09 几何图形初步-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（浙江专用）（已下线）专题12 三角形与四边形重难点题型-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（浙江专用）河南省驻马店市汝南县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题浙江省温州市乐清市英华学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题山东省枣庄市山亭区第六实验学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题（已下线）浙江八年级下期中真题精选（常考60题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（浙教版）江苏省扬州市江都区邵樊片暨联谊学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（已下线）专题08 平行四边形及其性质（8大题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（浙教版）（已下线）热点09 平行四边形与特殊平行四边形-2022年中考数学【热点·重点·难点】专练25-平行四边形与多边形
解答题-作图题
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较难(0.4)
真题
名校
小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在
中，
为边上的高，
，点在边上，且
，点是线段上任意一点，连接，将
沿翻折得
．
如图①，当
，将沿翻折后，使点与点重合，则
______；
(2)问题探究：
如图②，当
，将沿翻折后，使
，求
的度数，并求出此时
的最小值；
(3)拓展延伸：
当
，将沿翻折后，若
，且
，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
如图，在
中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
如图①，当
，将沿翻折后，使点与点重合，则______；(2)问题探究：
如图②，当
，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：
当
，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
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2022-07-05更新
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2111次组卷
|
8卷引用：2022年贵州省贵阳市中考数学真题
2022年贵州省贵阳市中考数学真题2023年贵州省铜仁市万山区中考一模数学试题四川省成都市金牛区实验外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（已下线）专题21 与三角形、四边形相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（已下线）第28章锐角三角函数03单元测25-平行四边形与多边形（已下线）第6讲 多边形与平行四边形（已下线）专题11 四边形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
解答题-证明题
|
较难(0.4)
如图1，在△ABC中，BC＝6，P是BC边的一点，且不与B，C重合，将△APB沿AP折叠得
，过点C作AP垂线，垂足为D，连接
．
(1)AB和
的数量关系是 ，AP与
的位置关系是 ；
(2)如图2，当四边形
是平行四边形时，求BP的长；
(3)在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：
．
，过点C作AP垂线，垂足为D，连接．(1)AB和
的数量关系是 ，AP与的位置关系是 ；(2)如图2，当四边形
是平行四边形时，求BP的长；(3)在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：
．
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2022-10-07更新
|
641次组卷
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11卷引用：广东省广州市海珠区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
广东省广州市海珠区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题广东省广州市白云区景泰中学2021-2022学年九年级上学期开学摸底考数学试题（已下线）专题18.17 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题18.18 平行四边形折叠问题和作图问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题4.23 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题4.24 平行四边形折叠问题和作图问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题19.20 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题19.21 平行四边形折叠问题和作图问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题6.20 平行四边形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题6.21 平行四边形折叠和作图问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）25-平行四边形与多边形
解答题-问答题
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较难(0.4)
真题
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点
的直线
轴，作关于
轴对称的图形
，再分别作关于
轴和直线
对称的图形
和
，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图，中，
，为直线
下方一点，作点关于直线的对称点
，再分别作点关于直线
和直线
的对称点
和
，连接
，
，请仅就图的情形解决以下问题：
①若
，请判断
与
的数量关系，并说明理由；
②若
，求，两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若
，
，
，连接
．当与的边平行时，请直接写出的长．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点
的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．(2)探究迁移：如图
，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：①若
，请判断与的数量关系，并说明理由；②若
，求，两点间的距离．(3)拓展应用：在（2）的条件下，若
，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．
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2023-06-28更新
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2152次组卷
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7卷引用：2023年河南省中考数学真题
2023年河南省中考数学真题（已下线）2023年河南省中考数学真题变式题20-23题（已下线）专题30 新定义与阅读理解创新型问题（共31题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）25-平行四边形与多边形34-图形的对称、平移、旋转与位似28.2.1解直角三角形（已下线）第6讲 多边形与平行四边形
解答题-应用题
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较难(0.4)
如图①所示，是某公园的平面示意图，
、
、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、
交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若
，
，
，公园的面积为 
；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、
、
，其中点在上，点在
上，且
（点与点、不重合），并计划在
与
两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时
，
，
，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：(1)若
，，，公园的面积为 ；(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道
、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；(3)若将公园扩大，此时
，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
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2023-01-07更新
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905次组卷
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10卷引用：山东省淄博市张店区第九中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
山东省淄博市张店区第九中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）第六章 平行四边形（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年八年级数学下册分层训练AB卷（北师大版）（已下线）18.1.2 平行四边形的判定（含2个课时）（练习）-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）（已下线）专题18.21 平行四边形最短路径问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题训练二 （特殊）平行四边形解答题强化高分必刷精选题-2022-2023学年八年级数学下册《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）（已下线）专题4.27 平行四边形最值问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题19.24 平行四边形最短路径问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）期中压轴题专训30题（第十六、十七、十八章）-2022-2023学年八年级数学下册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习（人教版）（已下线）专题6.24 平行四边形最值问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）25-平行四边形与多边形
解答题-证明题
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困难(0.15)
名校
在中，连接，若
，点为边上一点，连接
．
(1)如图1，点在上，且
，连接
，过作
于点，连接
并延长交于点，若
，求证：
；
(2)如图2，
，
，点在边上，
，若是
的角平分线，线段
（点在点
的左侧）在线段上运动，
，连接
、
，请直接写出
的最小值．
中，连接，若，点为边上一点，连接．(1)如图1，点
在上，且，连接，过作于点，连接并延长交于点，若，求证：；(2)如图2，
，，点在边上，，若是的角平分线，线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接、，请直接写出的最小值．
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2022-02-21更新
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859次组卷
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3卷引用：重庆市南开中学校2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试题
重庆市南开中学校2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试题（已下线）第一次月考难点特训（二）与特殊平行四边形有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（北师大版）25-平行四边形与多边形
解答题-证明题
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较难(0.4)
名校
在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
(1)如图1，
，
，且
．求：△ABP的面积．
(2)如图2，若
，以AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
(3)如图3，作
于D，
于E，若
，
，
，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
(1)如图1，
，，且．求：△ABP的面积．(2)如图2，若
，以AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．(3)如图3，作
于D，于E，若，，，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
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2022-03-02更新
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1501次组卷
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7卷引用：重庆市江北区字水中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
重庆市江北区字水中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题重庆市字水中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题18.21 平行四边形最短路径问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题4.27 平行四边形最值问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题19.24 平行四边形最短路径问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题6.24 平行四边形最值问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）25-平行四边形与多边形
