1 . 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：

2 . 设函数.
（1）若存在最大值，且，求实数的取值范围；
（2）令，，求证：对任意的，总存在最小值，且.

3 . 已知函数，的定义域分别为，若存在常数，满足：①对任意，恒有，且.②对任意，关于的不等式组恒有解，则称为的一个“型函数”.
(1)设函数和，求证：为的一个“型函数”；
(2)设常数，函数，.若为的一个“型函数”，求的取值范围；
(3)设函数.问：是否存在常数，使得函数为的一个“型函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C，直线与轴交于点D，求证：四边形的面积为定值．

5 . 已知数列，满足，，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求.

6 . 对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.
（1）根据恒等式两边的系数相同直接写出一个恒等式，其中；
（2）设，利用上述恒等式证明：.

7 . 根据下列关系式，算出数列的前4项，然后猜想它的通项，并用数学归纳法证明你的猜想.
（1）；
（2）；
（3）.

8 . 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为.

（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；②求点的坐标.
（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围(直接写出结果即可).

9 . 已知数列，满足：，，．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）记为数列的前项和，求的值．

10 . 已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：动点在定直线上，并求的最小值.