2023·山东青岛·一模
1 . 对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线
、
，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交
于点D，称线段
的长叫做这个三角形的铅垂高；
”．
尝试应用：
已知：如图2，点
、
、
，则
的水平宽为______，铅垂高为______，所以的面积为______．
学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：
，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高
______，的面积为______．
、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；
”．尝试应用：
已知：如图2，点
、、，则的水平宽为______，铅垂高为______，所以的面积为______．学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：
，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高______，的面积为______．
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2 . 在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
，顶点
在第三象限，点关于抛物线对称轴的对称点为点
，
．
(1)求
的值；
(2)抛物线与
轴正半轴交于点
，顺次连接
、
、
、
，形成四边形
，点
在抛物线上，若直线
将四边形分割成面积相等的两部分，求点的坐标．
与轴交于点，顶点在第三象限，点关于抛物线对称轴的对称点为点，．(1)求
的值；(2)抛物线与
轴正半轴交于点，顺次连接、、、，形成四边形，点在抛物线上，若直线将四边形分割成面积相等的两部分，求点的坐标．
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3 . 如图1，抛物线
：
经过点
和点
，已知直线l的解析式为
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2．当
时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当
面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值；
(3)如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为
，直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围．
：经过点和点，已知直线l的解析式为．(1)求抛物线
的解析式；(2)如图2．当
时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值；(3)如图3，将抛物线
在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为，直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围．
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4 . 如图，抛物线
经过点
和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接
，
，当四边形
面积取最大值时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与
相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接
，，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与
相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
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2023-03-10更新
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194次组卷
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5卷引用：2021年云南省腾冲市初中学业水平模拟考试数学试题
2021年云南省腾冲市初中学业水平模拟考试数学试题山东省枣庄市滕州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题广东省河源市碧桂园学校2022-2023年九年级数学上学期期末数学试卷（已下线）2023年广东省佛山市中考一模数学试卷变式题21-23题（已下线）猜想02二次函数综合题（6种常见题型专练）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）
名校
5 . 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形
的顶点
，C在x轴的负半轴，抛物线
的对称轴
，且过点O，A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段
上方的抛物线上有一点P，求
面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)若把抛物线沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．
的顶点，C在x轴的负半轴，抛物线的对称轴，且过点O，A．(1)求抛物线
的解析式；(2)若在线段
上方的抛物线上有一点P，求面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)若把抛物线
沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．
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2023-03-06更新
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207次组卷
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4卷引用：云南省昆明市五华区云南民族大学附属高级中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题
6 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点
并与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求
的面积．
经过点并与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求
的面积．
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7 . 如图，抛物线的对称轴为
，抛物线与x轴交于
、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在下方的抛物线上，且
，求点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使
是直角三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
的对称轴为，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点
在下方的抛物线上，且，求点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使
是直角三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
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8 . 如图，二次函数的图象与x轴相交于
两点，点C为二次函数的图象与y轴的交点．
(1)求二次函数的解析式和点C的坐标；
(2)在二次函数的对称轴上是否存在一点Q，使得
周长最小？若存在，请求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点P为二次函数图象上的一点，且
，求点P的坐标．
的图象与x轴相交于两点，点C为二次函数的图象与y轴的交点．(1)求二次函数的解析式和点C的坐标；
(2)在二次函数的对称轴上是否存在一点Q，使得
周长最小？若存在，请求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P为二次函数图象上的一点，且
，求点P的坐标．
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2019·湖北恩施·二模
9 . 在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与轴的交点为
，
两点，与轴交于点
，顶点为，其对称轴与轴交于点．
(2)连接
，
，
，试判断
的形状，并说明理由；
(3)点
为第三象限内抛物线上一点，
的面积记为
，求的最大值及此时点的坐标；
(4)在线段上，是否存在点
，使
为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
(2)连接
，，，试判断的形状，并说明理由；(3)点
为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；(4)在线段
上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023-01-10更新
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251次组卷
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7卷引用：专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）
（已下线）专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）2019年湖北省恩施市九年级中考第二次适应性考试数学试题湖北省恩施州巴东县神农中小学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题湖北省恩施州白杨坪乡初级中学2022-2023学年九年级数学上学年第三次月考测试题 （已下线）湖北省恩施州利川市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题变式题21-242023年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级下学期五校联考数学试卷山西省朔州市右玉县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
名校
10 . 已知，如图，抛物线
的顶点为
，经过抛物线上的两点
和
的直线交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线对应的函数解析式和直线对应的函数解析式．
(2)在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得
？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点C．(1)求抛物线对应的函数解析式和直线
对应的函数解析式．(2)在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得
？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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