1 . 如图，中，，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，P点沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止，设运动时间为t（s）．

(1)当运动停止时，的值为          ；
(2)设的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示，并注明t的取值范围）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？

2 . 火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目．如图所示，为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

      

(1)直接写出抛物线的函数关系式；
(2)在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；
(3)现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求．已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？

3 . 如图，折叠矩形纸片，使点D落在边的点M处，为折痕，，．则四边形面积的最小值是______．

   

4 . 一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，能够剪出的矩形的面积最大为________．
   

5 . 已知：如图1，在四边形中，，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，设运动时间为．

(1)当t为何值时，点D在线段的垂直平分线上？
(2)延长交于点E（如图2），若四边形是平行四边形，求t的值；
(3)设的面积为，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
(4)是否存在某一时刻t，使得与的夹角为？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，在矩形ABCD中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为_________．

   

7 . 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点是轴正半轴上的一个动点，连接，过做交轴与，是的中点，求的最小值．

8 . 如图，正方形的边长为5，E为上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
①若，则正方形的面积为_________．
②连接，，则面积的最小值为_________．
   

9 . 如图是一块美术小组使用剩余的画布，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，美术小组计划进行裁剪：

(1)若裁剪成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的边长；
(2)若裁剪成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若裁剪成圆，判断能否裁剪出半径为的圆，请说明理由．