1 . 如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转45°得到，则的最小值为______．

2 . 如图，正方形的直角顶点O为正方形的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形绕点O逆时针旋转角，连接、．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

3 . 如图，在中，，，点D是平面上一点，，，则的最大值为（     ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，平行四边形中，、分别是、的中点．

(1)求证：；
(2)连接，当与满足条件________时，四边形是矩形．

5 . 如图，在和中，，，．求证：．

6 . 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

7 . 【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．

【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．

【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．

8 . 如图，在正方形中，点M是边上的任一点，连接并将线段绕点M顺时针旋转得到线段，在边上取点P使，连接、．

(1)求证：；
(2)线段与交于点Q，连接，若，证明：；

9 . 【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转得，连接、．根据条件填空：①的度数为______；②若，则的值为______；
【类比探究】如图2所示，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，求正方形的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形中，，，为对角线，且满足，若，请直接写出的值．

10 . 如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接、．求证：．