1 . 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．求证：．

2 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

3 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

4 . 如图，在和中，点在上，，，，求证：．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为_____．

6 . 如图，在矩形中，点E，F分别为对边的中点，线段交于点O，延长于点G，连接并延长交于点Q，连结交于点P，连结．

(1)求证：O是的中点；
(2)求证：平分；
(3)若，求．（结果用含m的代数式表示）

7 . 如图，在中，，，点是边上一动点（点B除外），绕点逆时针旋转，得到，则面积的最大值是__________．

8 . 如图，，E，F分别为线段上的两点，于E，于F，且，交于点M．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

9 . 如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（       ）

A．6

B．8

C．9

D．10

10 . 如图，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④．正确的是______．