1 . 如下图，四边形是矩形，点在边上，，垂足为，．证明：．

2 . 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：

(1)       ，       ；
(2)当       且       时，；
(3)如图当垂直时，
猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

3 . 已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设

(1)已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为_________；
(2)在（1）的条件下，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标；
(3)直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由.

4 . 在中，，点在边上．以为斜边作，使得B、D两点在直线的异侧，且，与交于点．

(1)求证：；
(2)连接，若，判断与的数量关系；
(3)若，过点作，垂足为．求证：．

5 . 如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点恰好在的延长线上．

(1)求证：；
(2)求证：．

6 . 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．求证：．

7 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

8 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

9 . 如图，在矩形中，点E，F分别为对边的中点，线段交于点O，延长于点G，连接并延长交于点Q，连结交于点P，连结．

(1)求证：O是的中点；
(2)求证：平分；
(3)若，求．（结果用含m的代数式表示）

10 . 如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．