1 . 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接．

   

(1)求证：；
(2)当满足条件时，判定四边形的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下当满足条件______时，四边形是正方形，并说明理由．

2 . 如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 _____．

3 . 如图，在菱形中，M，N分别在，且，与
交于点O，，则∠OBC的度数为（　　）

A．

B．

C．

D．

4 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

5 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

6 . 如图矩形（长方形）沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，求的长．

7 . 如图,已知的顶点在互相平行的三条直线上,且 之间的距离为1, 之间的距离为 2, 则的长为（        ）

A．

B．5

C．

D．

8 . 在平面直角坐标系中，，且满足，C为上一动点，D为的中点．
   
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图1，连接，若，求的长；
(3)如图2，分别过点A，C作，，垂足分别为E，M ．当点C在上运动时，直接写出的值为________．

9 . 如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．

10 . 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
   
(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．