1 . 如图，在中，，平分，于，连接，交于点．

(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若，，求的长．

2 . 如图，已知是的中点，，求证：．

3 . 如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．

   

(1)求证：；
(2)若，求的长．

4 . 线段、相交于点，，，求证：．

5 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

6 . 如图，已知点P在的平分线上，点分别在射线、上，连接，

(1)当，时，与的数量关系        ；
(2)当，且时，（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
(3)在（2）条件下，若，则        ．

7 . 如图，在中，，于点E，交AB于点F，若，则下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有（       ）
   

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8 . [理解探究]
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形，
   
(1)[问题解决]
如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶
(2)[问题探究]
如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长
(3)[拓展延伸]
如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标

9 . 如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为（       ）.

A．

B．

C．

D．

10 . 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

   

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是          ，若，则的长为         ；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．