1 . 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：

(1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）；
(2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，，则折痕的长；
(4)【拓展运用】如图④，四边形中，，，，，点、分别在边、上，则的值为______.

2 . 如图①，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现
当时，＝　　．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)问题解决
当旋转至A，D，E三点共线时，如图③，图④，直接写出线段的长．

4 . （1）问题发现：如图和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．
线段之间的数量关系为 ___________ ；
的度数为 ___________ ．
（2）拓展探究：如图和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，连接，求的值及的度数．
（3）解决问题：如图，在和中，与相交于点，点在上，，求的值．

5 . 如图1，在中，，，点D、E分别在边上，且．连接，点M、P、N分别为的中点．连接．
   
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______；位置关系是______；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，并给出证明．
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，．直接写出面积的取值范围值．

7 . 问题提出：已知矩形，点E为上的一点，，交于点F．将绕点B顺时针旋转得到，则与的有怎样的数量关系．
问题探究
探究一：如图，已知正方形，点E为上的一点，，交于点F．
（1）如图1，直接写出的值 　 　；
（2）将绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形，点E为上的一点，，交于点F．
如图3，若四边形为矩形， ，将绕点B顺时针旋转得到（E、F的对应点分别为、点），连接、，则的值是否随着α的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
一般规律
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
问题解决
如图4，当时，其他条件不变，绕点B顺时针旋转，设旋转角为当时，直接写出此时　 　．
拓展延伸
如图5，点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交线段于点F，交线段于点M，连接交线段于点H．给出下列四个结论，①；②；③；④；正确的结论有 ___　 　个．

8 . 如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．

(1)填空：①的值为           ；②的度数为           ．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长．

9 . （问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为          三角形，的度数为          ．
【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．

   

10 . 如图1，在等腰直角三角形中，以为边在右侧作正方形．

(1)问题提出：图I中线段与线段的数量关系为 　                  　（直接写出答案）；
(2)深入探究：如图2，将正方形绕点D在平面内旋转，连接．判断线段与线段的数量关系并说明理由；
(3)拓展延伸：若，正方形绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，请直接写出线段的长．