1 . 如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．

(1)填空：①的值为           ；②的度数为           ．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长．

2 . 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，．
问题发现
奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．
如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……．

问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．
问题1：如图1，按照如上操作
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，的长为______；
②如图3，当直线时，求的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．
问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积．

4 . 【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转得，连接、．根据条件填空：①的度数为______；②若，则的值为______；
【类比探究】如图2所示，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，求正方形的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形中，，，为对角线，且满足，若，请直接写出的值．

5 . 【问题发现】
（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长．

6 . 【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．

【问题探究】
(1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
(2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．

8 . 如图Ⅰ，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，．
【观察猜想】
（1）将图Ⅰ中的，绕点A逆时针旋转，连接，，且的延长线交于点，得到图Ⅱ．若的延长线恰好经过点（即点，重合），直接写出与间的数量关系；
【类比探究】
（2）继续旋转图Ⅱ中的，连接，，且的延长线交于点（此时点，不重合），得到图Ⅲ．
①（1）中的结论是否改变？若不变，请证明；若改变，写出新的结论并证明；
②求的度数；
【拓展延伸】
（3）若，，在旋转过程中，当所在的直线垂直于时，求线段的长．