1 . 如图1，
的直径
垂直弦
于点
，且
，
．的长．
(2)探究拓展：如图2，连接
，点
是
上一动点，连接
，延长
交的延长线于点
．
①当点是的中点时，求证：
；
②如图3，连接
，
，当
为等腰三角形时，请计算的长．
的直径垂直弦于点，且，．
的长．(2)探究拓展：如图2，连接
，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点．①当点
是的中点时，求证：；②如图3，连接
，，当为等腰三角形时，请计算的长．
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2023-12-09更新
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210次组卷
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2卷引用：山东省菏泽市定陶区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题
2 . 【问题情境】
如图1，小明把三角板
（
）放置到矩形
中，使得顶点E、F、G分别落在
、、上，你发现线段
与有什么数量关系？
直接写出结论：______（不用证明）．
【变式探究】
如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在
边上，若
，
，求的长．
【拓展应用】
如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若
，
，
，求出
的值．
如图1，小明把三角板
（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？
直接写出结论：______（不用证明）．
【变式探究】
如图2，小明把三角板
（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长．【拓展应用】
如图3，小明把三角形
放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值．
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2023-12-06更新
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78次组卷
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2卷引用：山东省济南市历下区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
3 . 体验：如图
，在四边形中，
，
，点
在
边上，当
时，可知
______ 
不要求证明
．
探究：如图
，在四边形中，点在上，当
时，求证：∽
．
拓展：如图
，在
中，点是边的中点，点
、分别在边、上，若
，
，
，求
的长．
，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．探究：如图
，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．拓展：如图
，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
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2023-11-24更新
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60次组卷
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7卷引用：山东省德州市齐河县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
4 . 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
(1)【图形认知】如图①，在正方形中，
，
交于点，则
______（填比值）；
(2)【探究证明】如图②，在矩形中，
，
分别交、于点、，
分别交、
于点、
，求证：
；
(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点
和点重合，若
，
，则折痕的长；
(4)【拓展运用】如图④，四边形中，
，
，
，
，点、
分别在边、上，则
的值为______.
(1)【图形认知】如图①，在正方形
中，，交于点，则______（填比值）；(2)【探究证明】如图②，在矩形
中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；(3)【结论应用】如图③，将矩形
沿折叠，使得点和点重合，若，，则折痕的长；(4)【拓展运用】如图④，四边形
中，，，，，点、分别在边、上，则的值为______.
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名校
5 . 如图①，在
中，，，
，点，分别是边，的中点，连接，将
绕点
顺时针方向旋转，记旋转角为
．
(1)问题发现
当
时，
＝ ．
(2)拓展探究
试判断：当
时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)问题解决
当旋转至A，D，E三点共线时，如图③，图④，直接写出线段
的长．
中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．(1)问题发现
当
时，＝ ．(2)拓展探究
试判断：当
时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)问题解决
当
旋转至A，D，E三点共线时，如图③，图④，直接写出线段的长．
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2023-11-12更新
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91次组卷
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5卷引用：山东省济南市高新区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题
名校
6 . （问题提出）如图1，在等边内部有一点P，
，
，
，求
的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将
绕点A逆时针旋转
，得到
，连接
，则
为等边三角形．
，又
，，
，
为 三角形，
的度数为 ．
【类比探究】如图2，在中，
，
，其内部有一点P，若
，
，
，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，
，其内部有一点P，若，
，
，求的度数．
内部有一点P，，，，求的度数．（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将
绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ．【类比探究】如图2，在
中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．【联想拓展】如图3，在
中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
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2023-09-27更新
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401次组卷
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4卷引用：2023年山东省济南市市中区实验初级中学中考考前四模（6月）数学试题
2023年山东省济南市市中区实验初级中学中考考前四模（6月）数学试题2023年山东省济南实验初级中学中考数学四模模拟预测题2024年山东省菏泽市郓城县中考五模考试数学试题（已下线）重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）
7 . 如图1，在等腰直角三角形
中，以为边在右侧作正方形
．与线段
的数量关系为 （直接写出答案）；
(2)深入探究：如图2，将正方形绕点D在平面内旋转，连接
．判断线段与线段的数量关系并说明理由；
(3)拓展延伸：若
，正方形绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，请直接写出线段的长．
中，以为边在右侧作正方形．
与线段的数量关系为 （直接写出答案）；(2)深入探究：如图2，将正方形
绕点D在平面内旋转，连接．判断线段与线段的数量关系并说明理由；(3)拓展延伸：若
，正方形绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，请直接写出线段的长．
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2023-09-17更新
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56次组卷
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2卷引用：山东省烟台市海阳市2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
8 . 【问题呈现】
（1）如图1，和
都是等边三角形，连接
．求证：
．
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，
，连接．请直接写出
的值．
（3）如图3，和都是直角三角形，，且
．连接．的值；
②延长
交
于点，交于点．求
的值．
（1）如图1，
和都是等边三角形，连接．求证：．
（2）如图2，
和都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值．
（3）如图3，
和都是直角三角形，，且．连接．
的值；②延长
交于点，交于点．求的值．
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2023-08-14更新
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176次组卷
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2卷引用：山东省菏泽市单县2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
2023九年级·山东·专题练习
9 . 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1，在四边形中，
，
，
，点、分别在线段、上，
，连接．
（1）如图2，将
绕点
逆时针旋转后得到
(
与重合)，请直接写出
度，线段、、
之间的数量关系为 ．
（2）如图3，当点、分别在线段、的延长线上时，其他条件不变，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（二）拓展延伸
如图4，在等边中，、是边上的两点，，
，将绕点逆时针旋转得到(与重合)，连接
，与
交于点，过点作
于点，连接
，求线段的长度．
（一）尝试探究
如图1，在四边形
中，，，，点、分别在线段、上，，连接．（1）如图2，将
绕点逆时针旋转后得到(与重合)，请直接写出 度，线段、、之间的数量关系为 ．（2）如图3，当点
、分别在线段、的延长线上时，其他条件不变，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．（二）拓展延伸
如图4，在等边
中，、是边上的两点，，，将绕点逆时针旋转得到(与重合)，连接，与交于点，过点作于点，连接，求线段的长度．
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真题
名校
10 . 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即
）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离
，
，
，求建筑物AB的高度．
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至
处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出
；再将镜子移动至
处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出
．经测得，小军的眼睛离地面距离，
，求这个广告牌AG的高度．
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出
；③测出坡长
；④测出坡比为
（即
）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至
处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离
），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
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2023-08-01更新
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1717次组卷
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12卷引用：山东省威海荣成市16校联盟（五四制）2023-2024学九年级下学期期中考试数学试题
山东省威海荣成市16校联盟（五四制）2023-2024学九年级下学期期中考试数学试题2024年山东省滨州市阳信县二模数学试题2023年江苏省宿迁市中考数学真题广东省深圳市部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题广东省佛山市第六中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题06锐角三角函数的应用大题专练（五大类型）-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（苏科版）（已下线）九年级上学期期末模拟测试卷02-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）24-解直角三角形的实际应用（已下线）第2讲 锐角三角函数与解直角三角形（已下线）热点06++全等三角形与特殊三角形1（已下线）专题06 解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度、方位角等问题）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（已下线）查补重难点05 三角形与相似三角形-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）
