1 . 【问题初探】：（1）如图①，在中，点、分别在边、上，连接，∥，．若，则的长为______；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点是上一动点，连接，，，，求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中∥，米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接，，与交于点，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．

2 . （1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：①       ；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于      度；
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE=4，直接写出 AB的长     
（3）拓展延伸
如图3，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC的位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF， 若PA=3PB，则 的值是否是定值？请说明理由．

4 . 【基础巩固】
（1）如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AC上，△AEF∽△ACD，BE＝2，CE＝6，求AF•AC的值．

【拓展提高】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，AB＝AF，已知cos∠ACD＝，求tan∠ACB的值．

7 . （1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_____，_____时，直角三角形的面积最大；
（2）问题解决：如图，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作．所以，又因为四边形是矩形，所以于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题：
（3）问题拓展：如图②，矩形中，，点E是边上的动点（点E与两点不重合），连接，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值．