2 . 【问题提出】
（1）如图1，在中，点D、E分别在、上，连接，且，若，，则的长为_______；
【问题探究】
（2）如图2，在和中，点B、C、D在同一条直线上，，，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，五边形是某植物园的平面图，C、D分别是植物园的入口和出口（可看作点），和是进出植物园的两条主路，该植物园为举行春季花展，现要在出入口C、D之间进行花墙装饰工作．已知，，，，，求装饰的花墙的长度．（结果保留根号）

4 . 问题探究
（1）请在图1中过点A画一条直线，将分成面积相等的两部分；
（2）如图2，在中，，，点E在的延长线上，且，过点E作直线l分别交边，于点M，N．若直线l将的面积平分，则请求出的长度；
问题解决
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形，如图3所示．在四边形中，，实际长度公里，公里，公里，公里，点P在上且公里，根据用地需求，需在上确定点E，将五边形作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形总面积的一半，并在上确定点F，在中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区，为方便游客游览，要求修建、、三条观光道路的总长度最小．请问这样的是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及周长的最小值；若不存在，请说明理由．

6 . （1）问题探究：如图①，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上的任意一点，连接，请求出的最小值．
（2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖，已知，米，米，米，F为中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道（宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．

   

7 . 折纸是我国传统的民间艺术，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关纸片的折叠问题．

(1)折纸1：如图①，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段AB折叠（如图②）．如果长方形纸片，，求重叠部分的面积；
(2)折纸2：如图③，已知矩形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上．小明想要在边上找出点E，他的作法如下：
i）以点B为圆心，以长为半径画弧，交于点F；
ii）作的平分线与交于点E．
请问若按上述作法，所得的点E是否符合要求？请证明你的结论；
(3)折线3：如图④，在等腰中，，．动点M，N分别在两腰上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且．将沿所在的直线折叠，使点A的对应点为P．设的长为x，与等腰重叠部分的面积为y．
①求y与x之间的函数关系式；
②试求与等腰重叠部分的面积的最大值，并求出此时的长．

9 . （1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．