1 . 【问题提出】
（1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．

2 . 【问题提出】

（1）如图1，在四边形中，，点是上一点，连接、，若，求证：；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，点是上一点，过点作交于点，若，，，求的值；
【问题解决】
（3）如图3，四边形是某公园的一块空地，，分别沿、修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，，，求栽种竹子的面积（即的面积）．

5 . （1）问题探究：
如图1，在中，，，则的外接圆半径为_____________．
（2）问题解决：
如图2，为一个快递转运中心，，，半径为5的半圆在的内部或边上，其圆心在边上．现需在内建造一个快递堆放平台点，使，在半圆上建造一个快递堆放平台点，在边上建一个快递结算中心，为节省转运时间，请求出的最小值，及取最小值时点到的距离．

6 . 定义：若点P到多边形各个顶点的距离均相等，则称点P为“等距点”．
问题探究
（1）圆心O是中任意内接多边形的“等距点”，该结论是否正确？______（填“正确”或“错误”）
（2）如图1，在内部有一个“等距点O”，已知，“等距点O”到线段的距离为，求的最大面积．
问题解决
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点在x轴上，以为边作四边形，满足，在边上有一点M，若点M为四边形的“等距点”，设，四边形的周长为n，请求出n与m之间的函数关系式，并探究n是否存在最大值．

9 . 问题提出
如图（1），在中，，，则的值为__________；
问题探究
如图（2）在中，，点为的中点，且，求的最大值；

   

问题解决
为了迎接六一儿童节，营造欢乐的气氛，公园工作人员决定在矩形场地内用红色花卉摆出一个形图案，即七边形，其中点在矩形的内部，且，分别在矩形的边和上取一点，使得，，沿着和拉了两条彩带，彩带米，点E、F关于矩形的一条对称轴对称，且．为了夜晚的形图案更美观，工作人员计划沿着七边形的边装上一周灯带，并在尽可能大的区域内插上风车．已知灯带每米40元，请帮助公园工作人员解决问题：求当最大且的面积最大时，购买全部灯带所需的费用．

10 . （1）初步探究：
如图1，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接．若，，求的面积．

（2）深入探究：如图2，正方形为一个艺术演艺规划区域，．在正方形内部或边上，作如下规划：点B为入口，点E为中点，点F在边上，为演员化妆区，；点P在上，，点Q在上，等边为表演舞台，和为观看区域．请问观看区域和面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由．