2 . 【问题提出】

（1）如图1，已知点分别在四边形的边上，连接，若，，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，点为的中点，点分别为线段上的动点（点均不与端点重合），且，连接，过点作于点，连接，求长度的最小值；
【问题解决】
（3）某地在文旅开发建设中规划设计五边形为当地文旅形象展示区（计划分为传统区和创新区两个区域），如图3，在边上分别取点（点均不与端点重合），将四边形修建为传统区，五边形修建为创新区，在上取点，并沿摆放一排花盆，沿铺设一条观赏通道，根据规划要求，，，米，米，米，，．在实际铺设中，为了节约铺设成本，要求的长度尽可能小，当的长度最小时，求的长度．

4 . （1）问题提出：如图，为的直径，是的切线．为上的任意一点，连接，且，，则的最小值为______；
（2）问题探究：如图，，，，为内部一点，且满足．当取最小值时，求的长；
（3）问题解决：如图，这是某学校为艺术节设计的矩形活动区域．已知米，米，米，其中表演舞台设计在处，观众席在上方，摄影师在点处．为了方便摄影师录像，需要满足．点处设置休息处，表演结束后从点处离开．现需要修建小路，，已知修建小路的费用为每米元，求修建小路的最少费用．（结果取整数，参考数据：）

5 . 【问题提出】
（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______；
【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长；
【问题解决】
（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．

   

6 . 在菱形中，点E是对角线上一点，点F 是边上一点，连接、、．
【初步探究】
（1）如图1，若，，线段、满足的数量关系是          ．
【深入探究】
（2）如图2，若，，探究线段、满足的数量关系，并说明理由．(用含α的式子表示)
【理解应用】
（3）如图3，菱形是某校劳动实践园，经过调研，学校现要在的内部搭建一个三角形的动物养殖区，点E为动物养殖区的入口，满足点E、点F分别在、上，，且，已知菱形的边长为50米，问入口E建在何处，能使的面积最大，最大面积为多少？

   

9 . 【问题提出】
（1）如图1，是菱形的对角线，则______；（填“”“”或“”）；
【问题探究】
（2）如图2，正方形的边长为4，点在的延长线上，且，过点的直线分别交边于点，若恰好将正方形的面积平分，求的长；
【问题解决】
（3）某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形和以为直径的半圆构成，点在上，公园规划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的人口在半圆上的点处，，要在边上找一点，再沿修一条小路（小路的宽度忽略不计），使得将这块空地分成面积相等的两部分，用于种植不同的花，已知，请你在图3中找出点的位置，并计算出小路的长．（结果保留根号）

10 . 提出问题：

（1）如图1，在中，，，，则BC边上的高AD的长为______；
问题探究：
（2）如图2，内接于，弦，半径为6，求面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某园区内有一块直角三角形的空地，在空地边的中点D处修建了一个儿童游乐场，为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直（即），连接，在处种植绿植，其中，测得米，米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出面积的最大值，若不能，请说明理由．