1 . 如图，点C，E在线段
上，
，
，
都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接
，分别交
于点M，N，则
的长为___________ ．
上，，，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为
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2 . 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点A，B的连线与格点C，D的连线交于点E，若经过点B，D，E作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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3 . 综合与实践
数学活动：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：已知四边形
与四边形
都为正方形，
为
的中点，连接
，
，如图1，当点
在
上时，求证：
．
独立思考
(1)请你证明老师提出的问题；
合作交流
(2)解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形绕点
顺时针旋转，当点
落在对角线
上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；
问题解决
(3)解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形绕点顺时针旋转（如图3），当点
在同一条直线上时，
与
交于点
．若
，请直接写出
的值．
数学活动：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：已知四边形
与四边形都为正方形，为的中点，连接，，如图1，当点在上时，求证：．独立思考
(1)请你证明老师提出的问题；
合作交流
(2)解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形
绕点顺时针旋转，当点落在对角线上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；问题解决
(3)解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形
绕点顺时针旋转（如图3），当点在同一条直线上时，与交于点．若，请直接写出的值．
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4 . 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点和点
，观察者在点．适当调整，使得与
都与河岸垂直．此时
与相交于点
，若测得
，
，请利用这些数据计算河的宽度．
和点，观察者在点．适当调整，使得与都与河岸垂直．此时与相交于点，若测得，，请利用这些数据计算河的宽度．
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2023-07-19更新
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91次组卷
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3卷引用：山西省大同市2022-2023学年九年级上学期2月期末数学试题
山西省大同市2022-2023学年九年级上学期2月期末数学试题（已下线）专题03 相似三角形的应用综合（五大类型）（题型专练）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）27.2.2相似三角形的性质课后作业A层
5 . 如图，
，
相交于点
，则
的长为（ ）
，相交于点，则的长为（ ）
A． | B．4 | C． | D．6 |
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2023-07-19更新
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178次组卷
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2卷引用：山西省大同市2022-2023学年九年级上学期2月期末数学试题
6 . （1）【问题发现】
如图①，正方形、
，将正方形绕点旋转，直线、
交于点，请直接写出线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）【拓展探究】
如图2，矩形、，
，
，
，将矩形绕点旋转，直线、交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段、的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）【解决问题】
若
，
，矩形绕点旋转过程中，请直接写出当点与点
重合时，求线段的长．
如图①，正方形
、，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．（2）【拓展探究】
如图2，矩形
、，，，，将矩形绕点旋转，直线、交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段、的数量关系和位置关系，并说明理由（3）【解决问题】
若
，，矩形绕点旋转过程中，请直接写出当点与点重合时，求线段的长．
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7 . 阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．
下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形是
的内接四边形
证明：以C顶点，
为一边作
交于点E，使得
又∵
∴
∴
∴
，
又
，
∴
∴
∴
，
∴
∴
∴ 即
任务：
(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；
(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
(3)如图②若
，试探究线段
之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．
托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．
下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形
是的内接四边形
证明：以C顶点，
为一边作交于点E，使得 又∵
∴
∴
∴
， 又
，∴
∴
∴
，∴
∴
∴ 即
任务：
(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；
(2)当圆内接四边形
是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若
，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．
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8 . 如图，在和
，D、
分别是、
上的一点，
．
时，求证
．
证明途径可用下面的框图表示，请填写其中的空格
时，判断与是否相似，并说明理由．
和，D、分别是、上的一点，．
时，求证．证明途径可用下面的框图表示，请填写其中的空格
时，判断与是否相似，并说明理由．
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9 . 如图在四边形中，
，若
，则
的值为（ ）
中，，若，则的值为（ ） A． | B． | C． | D． |
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名校
10 . 如图，在中，
于点D，
于点E，与
相交于点F，
(1)求证：
．
(2)连接，小明进行了深入探究，他发现
，得到老师和同学们的认同，他利用（1）中的结论，具体推理过程如下：
∵
∴
∴
又∵
∴
请你仿照小明的方法证明
．
中，于点D，于点E，与相交于点F， (1)求证：
．(2)连接
，小明进行了深入探究，他发现，得到老师和同学们的认同，他利用（1）中的结论，具体推理过程如下：∵
∴
∴
又∵
∴
请你仿照小明的方法证明
．
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