1 . 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

2 . （1）【问题发现】

如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．

3 . 如图，在正方形中，点E是边的中点，的垂直平分线分别交，边于点F，G，垂足为点H．若，则的长为 __．

4 . 综合与探究
【问题情境】
如图1，在中，，，点，分别在边，上，且．
【数学思考】
（1）在图1中，的值为________；
（2）图1中保持不动，将绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展探究】
（3）在图2中延长，分别交，于点，，连接，得到图3，与之间的数量关系为________________；
（4）若将绕点按逆时针方向旋转到图4的位置，连接，，延长交的延长线于点，交于点，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．

5 . 如图，为等腰直角三角形，点D为边上一动点，以为斜边在其左侧构造另一等腰直角三角形，线段交于点P，连接．当时，恰好有，则的长为_____．
．

6 . 如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一点，，，则的长度为______．

7 . 如图，在等腰三角形中，厘米，厘米，动点从点出发，在边上以每秒3厘米的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒2厘米的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连结．

(1)请用含的代数式表示：______，______．
(2)若三角形与三角形相似，求此时的值．
(3)直接写出三角形是直角三角形时的值．

8 . 如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则的面积与的面积之比为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，．将绕点A逆时针旋转，直线，相交于点．

(1)观察猜想：若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)探究证明：如图3，若，将绕点A逆时针旋转．（1）中的结论是否仍成立2？若成立，加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，E是的中点在旋转过程中，当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时，直接写出的长．

10 . 阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则．
证明：，
，
，
（依据），
，
…

(1)上述证明过程中的依据是指______．
(2)请补全上述证明过程．
(3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度．