1 . 阅读与思考
阅读下面材料，并按要求完成相应的任务
下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题：
如图，正方形
边长
，点E是
边上的一个动点，沿着
折叠
，点B落在点F处．求
的值．
【特例探究】
任务一：
（1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线
上时，则
______．
任务二：
（2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值．
下面是该结论的部分解答过程：
在图2中，过点F作
于M，延长
交
于N．
易证四边形
为矩形，______
，
∴设
，则
，
，
，
在
中，根据勾股定理得
解得：
（舍去），
即
∴在中，
______
仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整．
【方法应用】
任务三：
（3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即
），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值．
阅读下面材料，并按要求完成相应的任务
正方形的折叠 正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决． |
如图，正方形
边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值．【特例探究】
任务一：
（1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线
上时，则______．任务二：
（2）如图2，当点E运动到边
的中点时，点B落在点F处，求的值．下面是该结论的部分解答过程：
在图2中，过点F作
于M，延长交于N．易证四边形
为矩形，______，∴设
，则，，，在
中，根据勾股定理得解得：
（舍去），即
∴在
中，______仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整．
图1图2图3
【方法应用】
任务三：
（3）如图3，当点E运动到边
靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值．
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2 . 请阅读材料，并完成相应的任务．
战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中
即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1.已知：
为圆上任意一点，当弦
经过圆心
，且
切
于点
时．
易证：弦切角
．
②如图2.当点是优弧上任意一点，切于点．
求证：弦切角
．
证明：连接
并延长交于点
，连接
，如图2所示．
与相切于点，
______，
，
是直径，
（_____），
，
，
又
（_______），
．
完成下列任务：
(1)将上述证明过程及依据补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，
的顶点
在上，和相交于点
，且是的切线，切点为，连接
．若
，
，求的长．
②如图4，，
，以为直径的交于点
，过点作的切线，交的延长线于点．直接写出与
的数量关系：______．
战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中
即为弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1.已知：
为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时．易证：弦切角
．②如图2.当点
是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角
．证明：连接
并延长交于点，连接，如图2所示．与相切于点，______，，是直径，（_____），，，又
（_______），．完成下列任务：
(1)将上述证明过程及依据补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，
的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，，求的长．②如图4，
，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．直接写出与的数量关系：______．
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3 . 如图，在矩形中，
，
，作对角线的垂直平分线
，垂足为G，交于点F，过点G作
，垂足为H，则
的值为（ ）
中，，，作对角线的垂直平分线，垂足为G，交于点F，过点G作，垂足为H，则的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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4 . 如图，在
中，是对角线，是边上的靠近点的三等分点，连接
交于点
，则
的值为（ ）
中，是对角线，是边上的靠近点的三等分点，连接交于点，则的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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5 . 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据是______；
(2)如图，在梯形中，
，点E在上，
交
于点F，若
，
，
，求
的长．
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
| 我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”，类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，在梯形 中，，E，F分别是两腰 的中点， 的延长线交于点G．求证：  ． 证明：∵ ，∴  （依据）．∵F为DC的中点， ∴  ．在  与 中， ，∴  ，∴  ， ．∵E是AB的中点，F是AG的中点， ∴EF是  的中位线，∴  ．∵ ，∴ ． |
(1)填空：材料中的依据是______；
(2)如图，在梯形
中，，点E在上，交于点F，若，，，求的长．
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6 . 如图，在矩形中，对角线
相交于点O，
的平分线分别交
于点F，E.若
，
，则
______ ．
中，对角线相交于点O，的平分线分别交于点F，E.若，，则
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7 . 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角
和等腰直角
，点在边边上，连接
和．
独立思考：
(1)试判断
和的位置关系，并说明理由．
实践探究：
(2)“聪慧小组”受此问题的启发，将图
中的
绕着点逆时针旋转角度
，使得点落在
的外部，得到
，点的对应点为
，点的对应点为
，连接
，
，如图
，请判断与之间的位置关系，并加以证明．
拓展探究：
(3)“善思小组”奇想：如图
，将绕着点逆时针旋转角度
时，得到，连接，交于点
，延长交于点
，该小组提出一个问题：若是线段
的中点，
的面积为，求
的面积，请你思考此问题，直接写出该问题的结果．
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，
是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和．独立思考：
(1)试判断
和的位置关系，并说明理由．实践探究：
(2)“聪慧小组”受此问题的启发，将图
中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明．拓展探究：
(3)“善思小组”奇想：如图
，将绕着点逆时针旋转角度时，得到，连接，交于点，延长交于点，该小组提出一个问题：若是线段的中点，的面积为，求的面积，请你思考此问题，直接写出该问题的结果．
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8 . 综合与探究
如图，二次函数
的图象与
轴相交于点，
，与
轴交于点
，对称轴是直线
，交轴于点．
(1)求该二次函数及所在直线的解析式；
(2)如图1，在线段上是否存在一点
，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，
是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接
分别交，轴于点，，连接
．若
和
的面积分别为
，
，请直接写出
的最大值．
如图，二次函数
的图象与轴相交于点，，与轴交于点，对称轴是直线，交轴于点． (1)求该二次函数及
所在直线的解析式；(2)如图1，在线段
上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，
是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交，轴于点，，连接．若和的面积分别为，，请直接写出的最大值．
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9 . 综合与实践
问题情境：
如图1，矩形和矩形
的顶点重合，对角线和
在同一条直线上，点，，和点，，分别都在同一条直线上．
数学思考：
（1）求证：
．
猜想证明：
（2）连接
交
于点，试猜想
，
与
之间的数量关系，并证明你的猜想．
问题情境：
如图1，矩形
和矩形的顶点重合，对角线和在同一条直线上，点，，和点，，分别都在同一条直线上．数学思考：
（1）求证：
．猜想证明：
（2）连接
交于点，试猜想，与之间的数量关系，并证明你的猜想．
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10 . 如图，在等边中，是边上的一点，
于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点，使得
；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（）的条件下，求证：
．
中，是边上的一点，于点．(1)请用无刻度的直尺和圆规在
边上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)在（
）的条件下，求证：．
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