1 . 抛物线
的对称轴为
轴，定点为坐标系原点，焦点
为直线
与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知
，过点
的直线交与
两点，又点
在线段
上（异于端点），且
，求点的轨迹方程．
的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．(1)求
的方程；(2)已知
，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
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2 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为
，其中
为参数．当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，
，
请写出
，
具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当
时，
单调递增，求实数
的取值范围；
(3)求
的最小值．
，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，
，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；(2)当
时，单调递增，求实数的取值范围；(3)求
的最小值．
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3 . 已知函数
，
．
(1)曲线
与
在
处的切线分别是
：
，
，且
，求的方程；
(2)已知
．
（i）求的取值范围；
（ii）设函数
的最大值为
，比较与（1）中的
的大小．
，．(1)曲线
与在处的切线分别是：，，且，求的方程；(2)已知
．（i）求
的取值范围；（ii）设函数
的最大值为，比较与（1）中的的大小．
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4 . 已知抛物线
的焦点为，点
.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点
的动直线
与交于
两点，上是否存在定点使得
（其中
分别为直线
的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
的焦点为，点.(1)求抛物线
的方程；(2)过点
的动直线与交于两点，上是否存在定点使得（其中分别为直线的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
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5 . 已知抛物线
，为抛物线的焦点，
其为准线上的两个动点，且
.当
时，
.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若线段
分别交抛物线于点，记
的面积为
，
的面积为
，当
时，求
的长.
，为抛物线的焦点，其为准线上的两个动点，且.当时，.(1)求抛物线
的标准方程；(2)若线段
分别交抛物线于点，记的面积为，的面积为，当时，求的长.
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6 . 拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数
在区间
连续，在区间
上可导，则存在
，使得
，我们将
称为函数在上的“中值点”．已知函数
，
，
．
(1)求
在
上的中值点的个数；
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数
，
，都有
成立，求实数t的取值范围．
(3)当
且
时，证明：
．
在区间连续，在区间上可导，则存在，使得，我们将称为函数在上的“中值点”．已知函数，，．(1)求
在上的中值点的个数；(2)若对于区间
内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数t的取值范围．(3)当
且时，证明：．
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7 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数
在闭区间
上的图象连续不断，在开区间
内的导数为
，那么在区间内存在点，使得
成立．设
，其中
为自然对数的底数，
．易知，在实数集
上有唯一零点
，且
．
时，
；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在
中选定一个作为的初始近似值，使得
，然后在点
处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点
处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列
．
①当
时，证明：
；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且
．请以此为前提条件，证明：
．
在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．
时，；(2)从图形上看，函数
的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．①当
时，证明：；②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．
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8 . 已知函数
，
．
(1)若在
上不单调，求的取值范围；
(2)当
时，试讨论的零点个数．
，．(1)若
在上不单调，求的取值范围；(2)当
时，试讨论的零点个数．
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2024-05-30更新
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567次组卷
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2卷引用：广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
9 . 函数
的图像在点
处的切线与y轴垂直，且
．
(1)求a与b的值，并求
的单调区间；
(2)若在区间
上的最大值为20，求c的值．
(3)若函数的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
的图像在点处的切线与y轴垂直，且．(1)求a与b的值，并求
的单调区间；(2)若
在区间上的最大值为20，求c的值．(3)若函数
的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
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10 . 双曲线
的焦点为
（
在
下方），虚轴的右端点为
，过点且垂直于
轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线
交于点
，记
的周长为
的周长为
．
(1)若的一条渐近线为
，求的方程；
(2)已知动直线
与相切于点
，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设
为常数．若
为定值，求
的最大值．
的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为．(1)若
的一条渐近线为，求的方程；(2)已知动直线
与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值．
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2024-05-29更新
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744次组卷
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3卷引用：2024届广东省大湾区高三下学期联合模拟考试（二）数学试题
