1 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

2 . 在平面四边形中（如图1），，，，E是AB中点，现将△ADE沿DE翻折得到四棱锥（如图2），

   

(1)求证：平面平面；
(2)图2中，若F是中点，试探究在平面内是否存在无数多个点，都有直线平面，若存在，请证明．

3 . 如图，在四棱锥中，底面为菱形，E，F分别为SD，BC的中点．
      
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，．求证：．

4 . 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：为定值？并求的最大值．

5 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

6 . 已知空间几何体ABCDE中，，是全等的正三角形，平面平面BCD，平面平面BCD.

(1)若，求证：；
(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.

7 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
(1)已知，求证：
(2)已知a，b，c为正数，且满足.证明：；

8 . 已知函数，.
(1)若，求证：当时，恒成立；
(2)若方程有两个不同的根，求实数的取值范围.

9 . 如图，为圆柱底面的内接四边形，为底面圆的直径，为圆柱的母线，且．

   

(1)求证：；
(2)若，点在线段上，且，求四面体的体积．

10 . 已知椭圆的离心率是，点Q在椭圆上，且，．

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，设椭圆C的上、下顶点分别为，，P为该椭圆上异于，的任一点，直线，分别交x轴于M，N两点，若直线OT与经过M，N两点的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．