1 . 如图，设中角A，B，C所对的边分别为为边上的中线，已知且．

(1)求的面积；
(2)设点，分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值．

2 . 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.

3 . 已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．

4 . 设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.

   

(1)求椭圆的方程：
(2)设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.

5 . 如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且.

(1)当时，求证平面；
(2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值.

6 . 某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．

(1)若，求排水沟BD的长；
(2)若，试用表示4条人行道的总长度．

7 . 欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．

8 . 若实数a，b分别是方程的根，则______．

10 . 已知，在平面直角坐标系中有一个点阵，点阵中所有点的集合为，从集全中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离．
(1)当时，求的分布列及期望．
(2)对给定的正整数．
（ⅰ）求随机变量的所有可能取值的个数（用含有的式子表示）；
（ⅱ）求概率（用含有的式子表示）．