1 . 如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线
；②位于地平线
与离地
高的水平线
之间的是长半轴长为
的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆．
(2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？
；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆．
(2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？
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解题方法
2 . 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆
：
，双曲线
是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，
，
分别为，的离心率，且
，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点
的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为
，
.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的
是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求
的取值范围.
：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.(1)求双曲线
的方程；(2)试探究
与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求
的取值范围.
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2023-10-17更新
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1267次组卷
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16卷引用：上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题江苏省南京市励志高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题重庆市九龙坡区杨家坪中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（已下线）专题07 双曲线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）3.2.2 双曲线的简单的几何性质（AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题12 双曲线的几何性质8种常见考法归类（3）安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题江苏省南京市第五高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题广东省深圳市福田区福田中学2023届高三下学期第六次月考数学试题（已下线）专题16圆锥曲线（解答题）（已下线）模块八 专题9 以解析几何为背景的压轴解答题（已下线）安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题变式题17-22上海交通大学附属中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）考点19 解析几何中的探索性问题 2024届高考数学考点总动员（已下线）考点18 解析几何中的范围、最值问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3
3 . 在平面直角坐标系
中，设
，动点
满足：
，其中
是非零常数，
分别为直线
的斜率.
(1)求动点的轨迹
的方程，并讨论的形状与值的关系；
(2)当
时，直线
交曲线于
两点，
为坐标原点.若线段的长度
，
的面积
，求直线的方程.
中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.(1)求动点
的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；(2)当
时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.
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解题方法
4 . 设
，函数
.
(1)请讨论该函数的单调性；
(2)求该函数在闭区间
上的最大值和最小值.
，函数.(1)请讨论该函数的单调性；
(2)求该函数在闭区间
上的最大值和最小值.
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5 . 如图，已知椭圆
的两个焦点为
，
，且，的双曲线
的顶点，双曲线的一条渐近线方程为
，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线
，
的斜率分别为
，
，且直线和与椭圆
的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求
的取值范围．
的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．(1)求双曲线
的标准方程；(2)证明：直线
，的斜率之积·为定值；(3)求
的取值范围．
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2023-03-28更新
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962次组卷
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6卷引用：上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2023届高三下学期3月联考数学试题（已下线）安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题变式题17-22（已下线）重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）-2
2023·全国·模拟预测
名校
解题方法
6 . 设椭圆
的左、右焦点分别为、，且与圆
在第二象限的交点为，
，则椭圆离心率的取值范围为
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2023-03-21更新
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1311次组卷
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6卷引用：上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题（已下线）专题10 椭圆的几何性质8种常见考法归类（1）（已下线）2022-2023学年高三新高考数学押题卷（三）湖北省黄石市2023届高三下学期高考适应性训练数学试题（已下线）押新高考第15题 直线与圆及圆锥曲线
名校
解题方法
7 . 设四边形
为矩形，点为平面外一点，且
平面，若
.
(1)求异面直线
和所成角的余弦值;
(2)在
边上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离为
，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由;
(3)若点
是
的中点，在
内确定一点
，使
的值最小，并求出此时
的值.
为矩形，点为平面外一点，且平面，若.(1)求异面直线
和所成角的余弦值;(2)在
边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由;(3)若点
是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求出此时的值.
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2022高三·全国·专题练习
名校
8 . 已知点
分别为双曲线Γ：
的左、右焦点，直线
与Γ有两个不同的交点A，B．
(1)当
时，求到 l 的距离；
(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；
(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数
，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B．(1)当
时，求到 l 的距离；(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当
的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数
，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
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2022-10-16更新
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1210次组卷
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8卷引用：上海市回民中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
解题方法
9 . 已知数列
满足
，数列的前
项和为
，则下列结论错误的是（ ）
满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）A． 的值为2 |
B．数列的通项公式为 |
| C．数列为递减数列 |
D． |
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2022-08-22更新
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2273次组卷
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8卷引用：上海市新中高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市新中高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题内蒙古通辽市重点校2022-2023学年高二下学期适应性考试数学（理）试题1.3.3 等比数列的前n项和公式（同步练习基础版）（已下线）专题04 数列（6）北京师范大学第二附属中学2023届高三上学期8月返校检测数学试题（已下线）第04讲 数列求和（练）福建省福州第十五中学2023届高三10月月考数学试题（已下线）三省三校2022届高三下学期第一次模拟数学（理）试题变式题6-10
21-22高一下·上海浦东新·期末
名校
解题方法
10 . 记是公差不为
的等差数列
的前项和，已知
，
，数列
满足
，且
．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列
是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数，
．
是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．(1)求
的通项公式；(2)证明数列
是等比数列，并求的通项公式；(3)求证：对于任意正整数
，．
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