1 . 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.

2 . 已知数列满足，，令.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，数列的前n项和为，定义为不超过x的最大整数，例如，，求数列的前n项和.（参考公式：）

3 . 如图所示，正方形是圆柱的轴截面，且，已知为圆柱侧面上的点，则集合平面平面表示椭圆的离心率为__________.

   

4 . 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求，；
(2)证明；
(3)已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．

5 . 设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
(1)若，求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
(3)若，数列的“点”的个数为，证明：．

6 . 设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（     ）

A．	B．
C．	D．

7 . 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．

8 . 已知方程，下面四个命题是真命题的是（       ）

A．当时，（*）表示一个圆

B．当时，（*）的曲线关于直线对称

C．当时，（*）的曲线具有中心对称性

D．当时，的最大值为1

9 . 已知曲线与，下面结论不正确的是（       ）

A．有公切线

B．在区间上均达到一个极大值点和极小值点，则

C．不等式在一定成立

D．记点处的切线夹角的正切值绝对值是

10 . 以下事件中，满足的是（       ）

A．不透明的盒子中有10个白球和1个黑球，甲乙两人轮流从盒中取球，甲先开始取球，每人每次只能随机取出1个小球，谁取到黑球，谁就获得胜利，同时游戏结束.事件A：甲获得胜利；事件：乙获得胜利

B．商场举办“周年庆，政积分”活动，在一个大转盘上等间距划分38个格子，上边分别标有不同的标号，转动转盘，指针最终等概率的落入38个格子中的一个，消耗1个积分，即可转动转盘一次，小明每次可以任意选择一个标号，如果小球落在小明所选标号的格子里，则小明赢得35个积分，若落入别的格子，则小明什么也得不到（即损失1个积分），小明有30个积分，于是他转动了30次，每次转动转盘相互独立.事件A：小明最终赚取了积分；事件：小明最终亏损了积分（）

C．把一副洗好的牌（去掉大小王共52张）背面向上摞成一摞，依次翻开每一张，直到翻出第一张5，事件A：再下一张翻出方块2；事件：再下一张翻出黑桃5

D．同时抛11枚大小、质地相同的硬币，事件A：正面向上的硬币数量是奇数；事件：正面向上的硬币数量是偶数