1 . 已知双曲线
的实轴长为2，离心率为
，圆
的方程为
，过圆上任意一点
作圆的切线
交双曲线于
，
两点.
的方程；
(2)求证：
；
(3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为
，
，且
，求实数
的范围.
的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点.
的方程；(2)求证：
；(3)若直线
与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围.
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2 . 在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，为动点，满足
.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知过点
的直线与曲线交于两点
，
，连接
，
.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为
，
，求证：
为定值；
（ⅱ）直线，与直线
分别交于，两点，求
的最小值.
中，已知点，，，为动点，满足.(1)求动点
的轨迹的方程；(2)已知过点
的直线与曲线交于两点，，连接，.（ⅰ）记直线
，的斜率分别为，，求证：为定值；（ⅱ）直线
，与直线分别交于，两点，求的最小值.
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名校
3 . 已知函数
.
(1)当
时，若
有两个零点，求实数
的取值范围；
(2)当
时，若有两个极值点
，求证:
；
(3)若在定义域上单调递增，求
的最小值.
.(1)当
时，若有两个零点，求实数的取值范围；(2)当
时，若有两个极值点，求证:；(3)若
在定义域上单调递增，求的最小值.
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名校
解题方法
4 . 已知双曲线
左右焦点分别为
，
，点
在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为
，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于
，
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段
，
的中点分别为，，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标.
左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.(1)求双曲线
的方程；(2)若线段
，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
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2024-05-14更新
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2114次组卷
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3卷引用：浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题
名校
解题方法
5 . 已知
的内角
所对的边分别为
且满足
(1)求证：
；
(2)若
，且为锐角三角形，求的面积
的取值范围.
的内角所对的边分别为且满足(1)求证：
；(2)若
，且为锐角三角形，求的面积的取值范围.
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6 . 如图①，在内部有一点
是正三角形，连接
，将线段
绕A顺时针反向旋转
至
．
(1)求证：
；
(2)（i）调整P点的位置，使
最小，求此时
和
的大小．
（ii）如图②，在
中，
，在其内部任取一点M，求
的最小值．
内部有一点是正三角形，连接，将线段绕A顺时针反向旋转至．(1)求证：
；(2)（i）调整P点的位置，使
最小，求此时和的大小．（ii）如图②，在
中，，在其内部任取一点M，求的最小值．
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7 . 在已知数列
中，
(1)求
及数列的通项公式；
(2)已知数列的前
项和为
，求证：
；
(3)中是否存在不同的三项
恰好成等差数列？若存在，求出
的关系；若不存在，请说明理由.
中，(1)求
及数列的通项公式；(2)已知数列
的前项和为，求证：；(3)
中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.
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名校
8 . 第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（
）坦克的编号为
，
，…，
，记
，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用
估计总体的均值，因此
，得
，故可用
作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现
的无意义结果.例如，当
，
时，若
，
，
，则
，此时
.
(1)当，时，求条件概率
；
(2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当
，
时，求随机变量M的分布列和均值
；
(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.
）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用
估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现
的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时.(1)当
，时，求条件概率；(2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当
，时，求随机变量M的分布列和均值；(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现
与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.
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2024-06-11更新
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721次组卷
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3卷引用：浙江省（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联考2024届高考数学模拟卷
9 . 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为
（
为参数，
），当
时，该方程就是双曲余弦函数
，类似的有双曲正弦函数
.
______.（用
，
表示）
(2)
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，证明：
有唯一的正零点
，并比较和
的大小.
（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.
______.（用，表示）(2)
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设
，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.
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名校
解题方法
10 . 已知椭圆
，直线
，是直线上的动点，过作椭圆的切线
，
，切点分别为，
(1)当点坐标为
时，求直线
的方程；
(2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点；
(3)是否存在点使得
的重心恰好是椭圆的左顶点
，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为，(1)当点
坐标为时，求直线的方程；(2)求证：当点
在直线上运动时，直线恒过定点；(3)是否存在点
使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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