1 . 设，函数为常数，．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若．
①判断并证明函数的单调性；
②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

2 . 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．

(1)若为上的一点，且，求证；
(2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

3 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

4 . 已知中，角A，B，C对应边分别为a，b，c.
(1)求证：；
(2)已知.
①若，求A；
②若是锐角三角形，且，求周长的取值范围.

5 . 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．

(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．

6 . 已知椭圆经过和，分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过轴上点（点在椭圆长轴上）作直线交椭圆两点，且，若，求点的坐标；
(3)过点作直线交椭圆于点，交直线于，直线于轴相交于，求证:为定值，并求此定值.（其中分别为直线和直线l，的斜率）.

7 . 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 .

(1)证明： ；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值.
(3)是否存在点，使得平面与平面 所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.

8 . 已知数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．

9 . 函数是定义在上的奇函数，且
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式．

10 . 已知数列满足：，，设．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．