1 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.

2 . 已知函数．
(1)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(2)若，函数，且在上的最大值为，证明：方程在上恰有两个不相等的实数根．
参考数据：．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为上的一个动点，求面积的最大值；
(3)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.

4 . 已知椭圆C的左、右焦点分别为，过点P（2，1）的直线l与C交于A，B两点，当直线l过时，直线l的斜率为，且的周长为
(1)求C的方程；
(2)若过点A且斜率为的直线交C于另外一点D，证明：直线BD恒过定点．

5 . 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.

(1)证明：；
(2)设为的中点，在棱上，满足平面，求与平面所成角的正弦值.

6 . 已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求.

7 . 已知数列和满足，且数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)令，记数列前n项和为，证明：.

8 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

9 . 已知数列的前n项和为，且满足.
(1)证明：数列从第二项起是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.

10 . 已知抛物线，直线与交于，两点，且．
(1)求的值；
(2)过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点；
(3)直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值．