1 . 已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：数列为等差数列．

2 . 如图，在直四棱柱中，.

   

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角的正弦值.

3 . 已知数列 的首项 且
(1)证明: 是等比数列；
(2)求数列 的前项和.

4 . 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点是棱上的动点，.

(1)当时，证明：直线平面；
(2)若二面角的大小等于，求的值；
(3)记三棱锥的体积为，试将表示为的函数.

5 . 如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
(1)若某“4阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
(2)若某“9阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若为“阶万物数列”，求证：．

6 . 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．

7 . 已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个零点
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．

8 . 已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 .
(1)求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程；
(2)设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值：
(3)已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件．

9 . 《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在长方体中，已知.

(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.

10 . 已知函数，若存在恒成立，则称是的一个“上界函数”，如果函数为的一个“上界函数”.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：若方程有两个解，则.