名校
1 . 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
(1)依据小概率值
的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
(2)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数
的概率分布和数学期望；
(3)统计学中常用
表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当
时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计
的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势．
附：
，
．
| 主播的学历层次 | 直播带货评级 | 合计 | |
| 优秀 | 良好 | ||
| 本科及以上 | 60 | 40 | 100 |
| 专科及以下 | 35 | 65 | 100 |
| 合计 | 95 | 105 | 200 |
的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？(2)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数
的概率分布和数学期望；(3)统计学中常用
表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势．附：
，． | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
2 . 某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形
（如图所示），其中三角形
区域为儿童活动场所，三角形
区域为文艺活动场所，三角形
区域为球类活动场所，
，
，
，
，
为运动小道（不考虑宽度），
，
，
．
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
(1)求
的长度；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
的长度；
(3)在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形）的面积最大？
（如图所示），其中三角形区域为儿童活动场所，三角形区域为文艺活动场所，三角形区域为球类活动场所，，，，，为运动小道（不考虑宽度），，，．
；条件②：
．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
(1)求
的长度；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
的长度；(3)在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形
）的面积最大？
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名校
解题方法
3 . 记
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求证：对于任意
，都有
，且存在，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数
，均有
.
.(1)若
，求和；(2)若
，求证：对于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定义在
上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有.
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解题方法
4 . 在平面直角坐标系xOy中，点
，
，
．
(1)求
；
(2)若实数
满足
，求的值．
，，．(1)求
；(2)若实数
满足，求的值．
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5 . 如图，在正三棱柱
中，
为的中点.
平面
.
(2)求异面直线
与所成角的余弦值.
(3)在
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
中，为的中点.
平面.(2)求异面直线
与所成角的余弦值.(3)在
上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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1053次组卷
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2卷引用：湖南省郴州市第一中学等校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题
名校
6 . 如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
平面
，
分别是棱
的中点.
.
(2)若直线
与平面
所成的角分别为
，证明：
.
中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点.
.(2)若直线
与平面所成的角分别为，证明：.
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名校
7 . 若函数
存在零点，函数
存在零点
，使得
，则称与
互为亲密函数.
(1)判断函数
与
是否为亲密函数，并说明理由；
(2)若函数
与
互为亲密函数，求
的取值范围.
附：
.
存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数.(1)判断函数
与是否为亲密函数，并说明理由；(2)若函数
与互为亲密函数，求的取值范围.附：
.
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名校
解题方法
8 . 平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量
的大小可以由模来刻画，其方向可以由以
轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角
来刻画.设
，则
.另外，将向量
绕点
按逆时针方向旋转
角后得到向量
.如果将
的坐标写成
（其中
，那么
.根据以上材料，回答下面问题:
，求向量
的坐标;
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点
和
分别为等腰直角
和等腰直角
的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题:
，求向量的坐标;(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点
和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
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383次组卷
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3卷引用：湖南省永州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题
湖南省永州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（已下线）高一下学期期末模拟卷（范围：必修第二册全册）-同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
9 . 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为
，，
，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为
，
，
，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
(1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；
(2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.
，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.(1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；
(2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.
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797次组卷
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6卷引用：湖南省娄底市第三中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
10 . 已知双曲线
过点
，且离心率为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设过点
且斜率不为0的直线
与双曲线的左右两支交于，
两点.问：在轴上是否存在定点
，使直线
的斜率
与
的斜率
的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
过点，且离心率为.(1)求双曲线
的标准方程；(2)设过点
且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
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