1 . 羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲､乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为.
(1)若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.

2 . 已知函数
(1)证明：在区间存在唯一极大值点；
(2)求的零点个数．

4 . 已知函数．
(1)若在恒成立，求a的取值范围；
(2)若，证明：存在唯一极小值点，且．

5 . 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.
(1)判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值；
(3)当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.

6 . 已知双曲线的离心率为，右焦点为.
(1)求的方程；
(2)设动直线与双曲线有且只有一个公共点（在第一象限），且与直线相交于点.
①证明：；
②设为坐标原点，求面积的最小值.

7 . 抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

   

(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．

8 . 设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到子集中元素的最大值和最小值．
(1)若的概率为，求；
(2)若，求且的概率；
(3)已知：对于随机变量，有．求随机变量的期望．