名校
1 . 已知函数 
.
(1)求函数
的最小值；
(2)若直线
是曲线 
的切线，求 
的最小值；
(3)证明：
.
.(1)求函数
的最小值；(2)若直线
是曲线 的切线，求 的最小值；(3)证明：
.
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2024-03-27更新
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524次组卷
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3卷引用：浙江省嘉兴市海宁市高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
2 . 设函数
（
）．
(1)若
，求函数
在
处切线的斜率；
(2)求证：
.
（）．(1)若
，求函数在处切线的斜率；(2)求证：
.
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2023-09-09更新
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480次组卷
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2卷引用：浙江省嘉兴八校联盟2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题
3 . 过点
作曲线
的切线，切点为
，设在
轴上的投影是点
；又过点作曲线
的切线，切点为
，设在轴上的投影是点
，依此下去，得到一系列点
，设点
的横坐标是
.
(1)求
,并求数列
的通项公式；
(2)求证：
.
作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是.(1)求
,并求数列的通项公式；(2)求证：
.
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名校
解题方法
4 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数为区间
上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
，的导函数分别为，，且，则.②设
，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：
；(3)证明：
，.
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2024-03-21更新
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1357次组卷
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6卷引用：浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题
浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题四川省阆中中学校2023-2024学年高二下学期4月期中学习质量检测数学试题（已下线）浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题变式题16-19（已下线）专题14 洛必达法则的应用【练】四川省南充市阆中中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷
名校
5 . 已知抛物线
与双曲线
交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．
(1)证明：
存在两条中线互相垂直；(2)求
的面积．
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名校
6 . 已知函数
，
.
(1)求函数在点
处的切线方程；
(2)当时，
，记函数
在
上的最大值为
，证明：
．
，.(1)求函数
在点处的切线方程；(2)当
时，，记函数在上的最大值为，证明：．
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2023-09-09更新
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756次组卷
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4卷引用：浙江省嘉兴市八校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
7 . 已知抛物线
，斜率为1的直线
交于不同于原点的
，
两点，点
为线段
的中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线
与抛物线交于
，
两点，过，分别作抛物线的切线
，
，设切线，的交点为
①求证：
为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.(1)求抛物线
的方程；(2)直线
与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为①求证：
为直角三角形.②记
的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
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8 . 已知函数
.（e为自然对数的底数，
）
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
，证明：存在实数使得方程
恰有三个不同的根，且
.
.（e为自然对数的底数，）(1)若
，求的图象在处的切线方程；(2)若
，证明：存在实数使得方程恰有三个不同的根，且.
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9 . 设函数
，若曲线在处的切线方程为
．
(1)求实数
的值．
(2)证明：函数有两个零点．
(3)记是函数的导数，
，
为的两个零点，证明：
．
，若曲线在处的切线方程为．(1)求实数
的值．(2)证明：函数
有两个零点．(3)记
是函数的导数，，为的两个零点，证明：．
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10 . 已知过点
可以作曲线
的两条切线，切点分别为、，线段
的中点坐标为
，其中
是自然对数的底数.
(1)若
，证明：
；
(2)若
，证明：
可以作曲线的两条切线，切点分别为、，线段的中点坐标为，其中是自然对数的底数.(1)若
，证明：；(2)若
，证明：
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