1 . 已知，函数有两个零点，记为，．
(1)证明：．
(2)对于，若存在，使得，试比较与的大小．

2 . 已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若的最小值为1，求在上的最小值；
(2)若，证明：当时，．

3 . 已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若在有两个极值点，求证：．

4 . 已知函数.
(1)当时，若曲线在处的切线方程为，证明：；
(2)若，求的取值范围.

5 . 已知函数，．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若存在，且当时，，证明：．

6 . 已知和有相同的最大值.（）
(1)求的值；
(2)求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点且，使得成等比数列.

7 . 已知函数.
(1)若曲线上横坐标为的点处的切线斜率为3，求点处的切线方程；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，对任意的且，恒有.

8 . 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，证明：．

9 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.

10 . 材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数，根据以上材料：
(1)直接写出初等函数极值点
(2)对于初等函数，有且仅有两个不相等实数满足：.
（i）求的取值范围.
（ii）求证：
（注：题中为自然对数的底数，即）