1 . 已知为等边三角形，D为的中点，点E，F分别在上，连接．
   
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，点G在上，连接交于点H，若，求证： ；
(3)如图3，若，点P在直线上，连接，将沿着翻折至 所在的平面内，得到，连接，取的中点T，连接，当取最大时，求的面积．

3 . 在中，，，过点A作于点O，点D是边上一点，连接．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，将线段绕着点A逆时针旋转到，点F为线段的中点，连接．
求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，将沿着翻折得到，连接，请直接写出的值．

6 . 如图，在中，

(1)尺规作图：作的角平分线交于点D，并在射线上另取一点E（不与A重合），使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，若D恰为线段的中点，求证；．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵D为中点
∴
∴在和中
∴
∴
∴，
又∵是的角平分线
∴②                      
∴
∴③                      
又∵
∴
由此发现一个结论，请完成下列命题：
如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么④               ．

8 . 如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接．

(1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长；
(2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：；
(3)如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值．

9 . 已知在中，，，H为直线上一点．

(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，过点B作于点D，点E为中点，连接，作交于点F，连接，若G为中点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）问的条件下，若，当最小时，直接写出的面积．