1 . 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
猜想：
如图1．在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：
，且．
对此，我们可以用演绎推理给证明．
【结论应用】如图2，是等边三角形，点在边上（点与点、不重合），过点作交于点，连结，、、分别为、、的中点，顺次连结、、．

①求证：；
②的大小是     ．

2 . 如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为________．
   

3 . 如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长．

4 . 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒．

(1)线段的长为_____；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值；
(4)当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．

6 . 如图，菱形的周长为20，点在对角线上，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点运动．连接、．设点的运动时间为秒．
   
(1)当点在边上时，用含的式子表示，可以表示为______．
(2)当时，求的长．
(3)当与菱形的一条边平行时，求的面积．
(4)当为直角三角形时，直接写出的值．

7 . 如图，中，点在边上，，．．若的面积为，则的面积为______．

8 . 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒．

(1)线段的长为　　（用含的代数式表示）．
(2)当点恰好落在边上时，求的值．
(3)当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
(4)当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．

9 . 体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．
探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．
拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
   

10 . 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作交于点F，连接，则的长为______．