1 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

2 . 记正项数列的前项和为，若，则的最小值为__________.

5 . 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；
(3)已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

6 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．

7 . 已知二项式．
(1)若，，求二项式的值被7除的余数；
(2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．

9 . 已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则_____________，_____________．