1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.

2 . 已知为坐标原点，椭圆：上一点在第一象限，若.

（1）求点的坐标；
（2）椭圆两个顶点分别为，，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，若直线与直线相交于点，求证：为定值.

3 . 已知，
（1）讨论的单调性；
（2）求证：当时，.

4 . 已知函数在[1，2]时有最大值1和最小值0，设．
（1）求实数，的值；
（2）若不等式在[4，8]上有解，求实数的取值范围

5 . 若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）如果函数的图象不在轴的下方，求实数的取值范围．

7 . 在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．

（1）设动点满足，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．

8 . 已知函数.
（1）当时，函数单调递增，求的取值范围；
（2）若为的极值点，且，求正数的值.

9 . 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_________.

10 . 已知函数在上的最小值为1，若对于任意，不等式恒成立，则实数m的最小值为__________．