名校
解题方法
1 . 三个互不相同的函数
与
在区间
上恒有
或恒有
，则称为
与
在区间上的“分割函数”.
(1)设
，试分别判断
是否是
与
在区间
上的“分割函数”，请说明理由；
(2)求所有的二次函数
（用
表示
，使得该函数是与
在区间上的“分割函数”；
(3)若
，且存在实数
，使得
为
与
在区间
上的“分割函数”，求
的最大值.
与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”.(1)设
，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；(2)求所有的二次函数
（用表示，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；(3)若
，且存在实数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.
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2023-04-13更新
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977次组卷
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5卷引用：上海市市北中学2024届高三上学期10月月考数学试题
上海市市北中学2024届高三上学期10月月考数学试题上海市黄浦区2023届高三二模数学试题河北省衡水中学2023届高三下学期第五次综合素养测评数学试题（已下线）重难点04导数的应用六种解法（1）（已下线）第5章 函数的概念、性质及应用单元复习+热考题型-同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）
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解题方法
2 . 已知椭圆
:
，
，
．椭圆内部的一点
，过点
作直线
交椭圆于
，作直线
交椭圆于
．、是不同的两点．
(1)若椭圆的离心率是
，求
的值；
(2)设
的面积是
，
的面积是
，若
，
时，求
的值；
(3)若点
，
满足
且
，则称点
在点
的左上方．求证：当
时，点在点的左上方．
:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．(1)若椭圆
的离心率是，求的值；(2)设
的面积是，的面积是，若，时，求的值；(3)若点
，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
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2023-04-13更新
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1622次组卷
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9卷引用：上海市静安区市北中学2024届高三上学期12月月考数学试题
上海市静安区市北中学2024届高三上学期12月月考数学试题上海市奉贤区2023届高三二模数学试题（已下线）模块八 专题9 以解析几何为背景的压轴解答题（已下线）专题08 平面解析几何-学易金卷上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）专题15 圆锥曲线综合（已下线）重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-2（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷04（压轴题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）
3 . 已知
，
(1)求函数
的导数，并证明：函数在
上是严格减函数（常数
为自然对数的底）；
(2)根据（1），判断并证明
与
的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
(3)已知、是正整数，
，
，求证：
是满足条件的唯一一组值.
，(1)求函数
的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；(2)根据（1），判断并证明
与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；(3)已知
、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
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2022-12-15更新
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808次组卷
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6卷引用：上海市静安区市北中学2024届高三上学期12月月考数学试题
上海市静安区市北中学2024届高三上学期12月月考数学试题上海市嘉定区2023届高三上学期一模数学试题重庆市2023届高三下学期2月月度质量检测数学试题（已下线）核心考点09导数的应用（1）（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷01（易错题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷04（压轴题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）
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解题方法
4 . 过点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
和
，又直线
经过抛物线
的焦点
，那么
=
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2022-10-23更新
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2374次组卷
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7卷引用：上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学文科试题（已下线）专题9-4 抛物线性质应用归类-2（已下线）专题9-4 抛物线性质应用归类-3四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试卷（已下线）大招24阿基米德三角形
名校
解题方法
5 . 设函数
．
(1)求
的值和
的解析式；
(2)是否存在非负实数，使得
恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)定义
，且
（
），
①当
时，求
的解析式；
②已知下列正确的命题：当
（
，
）时，都有
恒成立；对于给定的正整数
，若方程
恰有
个不同的实数根，确定
的取值范围，若将这些根从小到大排列组成数列
（
），求数列所有项的和．
．(1)求
的值和的解析式；(2)是否存在非负实数
，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(3)定义
，且（），①当
时，求的解析式；②已知下列正确的命题：当
（，）时，都有恒成立；对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围，若将这些根从小到大排列组成数列（），求数列所有项的和．
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名校
解题方法
6 . 已知
，若存在
，使得
与
夹角为
，且
，则
的最小值为___________ .
，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为
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2022-06-15更新
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1482次组卷
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2卷引用：上海市新中高级中学2023届高三上学期期中数学试题
名校
7 . 对于数列
，若存在正数，使得对一切正整数
，恒有
，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列
满足：
，
，记数列的前项和为
，数列
的前项和为
，则下列结论正确的是（ ）
，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）A．当 时，数列 有界 | B．当时，数列 有界 |
C．当 时，数列有界 | D．当时，数列有界 |
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2022-03-24更新
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1925次组卷
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6卷引用：上海市静安区回民中学2024届高三上学期12月阶段性测试数学试题
上海市静安区回民中学2024届高三上学期12月阶段性测试数学试题浙江省温州市2022届高三下学期3月高考适应性测试数学试题（已下线）专题12 数列（已下线）第5章 一元函数的导数及其应用 单元综合检测（难点）(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）专题6-1 数列函数性质与不等式放缩（讲+练）-1（已下线）【练】专题4 数列新定义问题
名校
8 . 设对集合上的任意两相异实数
，
，若
恒成立，则称
在上优于
；若
恒成立，则称在上严格优于.
（1）设在
上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
（2）若在上严格优于，
，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
（3）设函数
，
，若
，是否存在实数
使得在
上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.
上的任意两相异实数，，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.（1）设
在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；（2）若
在上严格优于，，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；（3）设函数
，，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.
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2020-09-06更新
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1062次组卷
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4卷引用：上海市新中高级中学2024届高三上学期10月阶段检测数学试题
解题方法
9 . 设无穷数列
的每一项均为正数，对于给定的正整数，
(
)，若
是等比数列，则称为
数列.
（1）求证：若是无穷等比数列，则是数列；
（2）请你写出一个不是等比数列的
数列的通项公式；
（3）设为数列，且满足
，请用数学归纳法证明：是等比数列.
的每一项均为正数，对于给定的正整数，()，若是等比数列，则称为数列.（1）求证：若
是无穷等比数列，则是数列；（2）请你写出一个不是等比数列的
数列的通项公式；（3）设
为数列，且满足，请用数学归纳法证明：是等比数列.
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2020-06-12更新
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500次组卷
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2卷引用：2020届上海市静安区高三第二次模拟数学试题
10 . 已知等轴双曲线的两个焦点
、
在直线
上，线段
的中点是坐标原点，且双曲线经过点
．
(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①
；②
；③
．请推理判断哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；
(2)现要在等轴双曲线上选一处
建一座码头，向
、
两地转运货物．经测算，从到
、从到
修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线
的方程：①；②；③．请推理判断哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；(2)现要在等轴双曲线
上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
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2019-12-07更新
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485次组卷
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2卷引用：上海市市北中学2018-2019学年高二上学期期末数学试题
