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解题方法
1 . 柯西中值定理是数学的基本定理之一,在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为:设函数f(x),g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线;
②在内可导;
③对,,则,使得.
特别的,取,则有:,使得,此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足,其导函数在上单调递增,证明:函数在上为增函数.
(2)若且,不等式恒成立,求实数的取值范围.
①图象在上是一条连续不断的曲线;
②在内可导;
③对,,则,使得.
特别的,取,则有:,使得,此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足,其导函数在上单调递增,证明:函数在上为增函数.
(2)若且,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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2 . 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,数列满足,且
①比较,,1的大小
②证明:.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,数列满足,且
①比较,,1的大小
②证明:.
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3 . 已知椭圆的左右顶点分别为,点是椭圆上任意一点,点和关于轴对称,设直线和交点为
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若为曲线的右焦点,过的直线与交,两点,在第二象限,
(i)以为直径的圆是否经过点,若是,请说明理由;
(ii)设为直径的圆与曲线在第一象限交点为,证明点是的内心.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若为曲线的右焦点,过的直线与交,两点,在第二象限,
(i)以为直径的圆是否经过点,若是,请说明理由;
(ii)设为直径的圆与曲线在第一象限交点为,证明点是的内心.
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解题方法
4 . 已知数列的前n项和为.若对每一个,有且仅有一个,使得,则称为“X数列”.记,,称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0,1,,1,试判断是否为“X数列”,并说明理由;
(2)若,证明为“X数列”,并求它的“余项数列”的通项公式;
(3)已知正项数列为“X数列”,且的“余项数列”为等差数列,证明:.
(1)若的前四项依次为0,1,,1,试判断是否为“X数列”,并说明理由;
(2)若,证明为“X数列”,并求它的“余项数列”的通项公式;
(3)已知正项数列为“X数列”,且的“余项数列”为等差数列,证明:.
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2024-05-07更新
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1455次组卷
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4卷引用:湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题
湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题(已下线)专题14 学科素养与综合问题(解答题19)黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024届高三下学期第四次模拟数学试卷
名校
解题方法
5 . 设是单位圆上不同的两个定点,点为圆心,点是单位圆上的动点,点满足(为锐角)线段交于点(不包括),点在射线上运动且在圆外,过作圆的两条切线.
(1)求的范围
(2)求的最小值,
(3)若,求的最小值.
(1)求的范围
(2)求的最小值,
(3)若,求的最小值.
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2024-04-01更新
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843次组卷
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4卷引用:湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
6 . 已知以下事实:反比例函数()的图象是双曲线,两条坐标轴是其两条渐近线.
(1)(ⅰ)直接写出函数的图象的实轴长;
(ⅱ)将曲线绕原点顺时针转,得到曲线,直接写出曲线的方程.
(2)已知点是曲线的左顶点.圆:()与直线:交于、两点,直线、分别与双曲线交于、两点.试问:点A到直线的距离是否存在最大值?若存在,求出此最大值以及此时的值;若不存在,说明理由.
(1)(ⅰ)直接写出函数的图象的实轴长;
(ⅱ)将曲线绕原点顺时针转,得到曲线,直接写出曲线的方程.
(2)已知点是曲线的左顶点.圆:()与直线:交于、两点,直线、分别与双曲线交于、两点.试问:点A到直线的距离是否存在最大值?若存在,求出此最大值以及此时的值;若不存在,说明理由.
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2024-03-21更新
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1529次组卷
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5卷引用:湖北省襄阳市第四中学2024届高三下学期高考最后一次数学测试题
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解题方法
7 . 某商场周年庆进行大型促销活动,为吸引消费者,特别推出“玩游戏,送礼券”的活动,活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏,游戏规则如下:在一个盒子里放着六枚硬币,其中有三枚正常的硬币,一面印着字,一面印着花;另外三枚硬币是特制的,有两枚双面都印着字,一枚双面都印着花,规定印着字的面为正面,印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次,由工作人员告知投掷的结果,若两次投掷向上的面都是正面,则进入最终挑战,否则游戏结束,不获得任何礼券.最终挑战的方式是进行第三次投掷,有两个方案可供选择:方案一,继续投掷之前抽取的那枚硬币,如果掷出向上的面为正面,则获得200元礼券,方案二,不使用之前抽取的硬币,从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷,如果掷出向上的面为正面,则获得300元礼券,不管选择方案一还是方案二,如果掷出向上的面为反面,则获得100元礼券.
(1)求第一次投掷后,向上的面为正面的概率.
(2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷,向上的面均为正面,求该硬币是正常硬币的概率.
(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下,试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望,并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
(1)求第一次投掷后,向上的面为正面的概率.
(2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷,向上的面均为正面,求该硬币是正常硬币的概率.
(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下,试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望,并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
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2024-03-08更新
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2162次组卷
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4卷引用:湖北省襄阳第四中学2024届高三下学期五月高考适应性考试(二)数学试卷
名校
解题方法
8 . 2023年10月11日,中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”,求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态,量子计算机的量子比特(qubit)可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特,且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示“0”,上旋表示“1”,粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后,粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋,再输入第二道逻辑门后,粒子的自旋状态有的概率发生改变,记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率;
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为,,…,,则称(其中)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵;
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为(,2,3,⋯,,⋯).证明:当无限增大时,的数学期望趋近于一个常数.
参考公式:时,,.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率;
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为,,…,,则称(其中)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵;
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为(,2,3,⋯,,⋯).证明:当无限增大时,的数学期望趋近于一个常数.
参考公式:时,,.
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2024-03-04更新
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1793次组卷
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4卷引用:湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题
湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题湖南省新高考十八校联盟2024届高三下学期3月月考数学试题(已下线)第2套 重组模拟卷(模块二 2月开学)(已下线)专题09 计数原理与随机变量及分布列(讲义)
9 . 已知函数,其导函数为.
(1)求单调性;
(2)求零点个数.
(1)求单调性;
(2)求零点个数.
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解题方法
10 . 已知四棱锥,底面是正方形,平面,,与底面所成角的正切值为,点为平面内一点,且,点为平面内一点,,下列说法正确的是( )
A.存在使得直线与所成角为 |
B.不存在使得平面平面 |
C.若,则以为球心,为半径的球面与四棱锥各面的交线长为 |
D.三棱锥外接球体积最小值为 |
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2024-01-18更新
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1784次组卷
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5卷引用:湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题
湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题湖北省武汉市(武汉六中)部分重点中学2024届高三第二次联考数学试题吉林省长春市朝阳区吉大附中实验学校2024届高三下学期开学考试数学试题(已下线)模块4 二模重组卷 第3套 全真模拟卷(已下线)湖北省武汉市(武汉六中)部分重点中学2024届高三第二次联考数学试题变式题11-16