1 . 给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，
(1)若，求线段的长度；
(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．

2 . 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段的中点，，，四边形为矩形.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，在三棱锥中，，，．

(1)证明：平面；
(2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角．

4 . 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表：

	喜欢	不喜欢	合计
男生	120	80	200
女生	100	100	200
合计	220	180	400

(1)是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望.
附：，其中.

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

5 . 在中，内角，，的对边分别为，，，，.
(1)求；
(2)若，，求.

6 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程;
(2)若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围;
(3)若无零点，求的取值范围.

7 . 已知数列的首项，且满足，的前项和为.
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)在数列中，，，求数列的通项公式及.

8 . 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：

	青年人	中年人	老年人
对该种APP有需求
对该种APP无需求

其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为.
(1)求，的值.
(2)在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？
参考公式：，其中.
临界值表：

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

10 . 现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子装有2个红球和1个白球，乙盒中装有1个红球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为（注：所有小球大小、形状、质地均相同）
(1)求的值；
(2)设，证明：；
(3)求的数学期望的值．